一般相対論的時空の表し方

重力の理論である一般相対性理論では，重力は個々の物体に働く「力」というよりも，入れ物としての時空そのものの曲がり具合として記述される。

時空の曲がり具合を記述するのが微分幾何学であり，そこには曲率テンソルをはじめとした多くの数学的道具立てが現れる。曰く，平行移動と共変微分，そこで使われる接続係数（3つも添字を持ちながらテンソルではない）や，はたまた計量テンソル，リーマンの曲率テンソル，リッチテンソル，アインシュタインテンソル等々．

ここでは，曲率テンソルの物理的イメージを感じていただけるように，力学の運動方程式に相当する測地線方程式の話からはじめて，平行移動と共変微分は使わずに，それでいて式の説明は割愛せず，曲率テンソルの導入まで説明してみる。

表記について

• 4元ベクトルは太字で $\mathit{u},\mathit{k}$ などと書く。
• 4元ベクトルの成分は $u^{\mu }=(u^0,u^1,u^2,u^3)$ などのように書く。
• ギリシャ文字の添字  $\lambda ,\mu ,\nu ,\dots$ は $0$ から $3$ までの値をとる。
• アインシュタインの規約により，上添字と下添字に同じギリシア文字があったら，たとえ ${\displaystyle \sum }$ がなくても自動的に $0$ から $3$ までの和を取る。
• 4元ベクトル $\mathit{u}$  はその成分 $u^{\mu }$ と4次元時空の基本ベクトル ${\mathit{e}}_{\mu }$ を使って以下のように書く。（最後のところでアインシュタインの規約を使っている。）
  $$\mathit{u}=\sum _{\mu =0}^3{u}^{\mu }{\mathit{e}}_{\mu }\equiv u^{\mu }{\mathit{e}}_{\mu }$$
• 2つの4元ベクトルの内積は $\cdot$ 記号であらわす。特に基本ベクトル同士の内積は計量テンソルの成分 $g_{\mu \nu }$ （特殊相対論の場合は ${\eta }_{\mu \nu }$ ）を与える。
  $${\mathit{e}}_{\mu }\cdot {\mathit{e}}_{\nu }=g_{\mu \nu }$$
  $$\mathit{u}\cdot \mathit{k}=(u^{\mu }{\mathit{e}}_{\mu })\cdot (k^{\nu }{\mathit{e}}_{\nu })={\mathit{e}}_{\mu }\cdot {\mathit{e}}_{\nu }{u}^{\mu }{k}^{\nu }=g_{\mu \nu }{u}^{\mu }{k}^{\nu }=k_{\mu }{u}^{\mu }$$
  添字の上げ下げには計量テンソルを使う。たとえば，$k_{\mu }=g_{\mu \nu }{k}^{\nu }$ など。
• 計量テンソルの signature は $(-,+,+,+)$ 。
• しばしば偏微分を以下のような省略記法で書く。（一般には基本ベクトル ${\mathit{e}}_{\mu }$ も微分する必要があるんですよ。）
  $$\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}{\mathit{e}}_{\mu }=\frac{\partial {\mathit{e}}_{\mu }}{\partial x^{\nu }}={\partial }_{\nu }{\mathit{e}}_{\mu }={\mathit{e}}_{\mu ,\nu }$$
• しばしば光速 $c$ について $c=1$ とする。

このセクションは「数理科学 2015年7月号」の記事原稿をもとに大幅に加筆したものです。

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