Return to 角径距離

補足：Maxima で角径距離が極大となる赤方偏移を求める

グラフからわかるように，角径距離 $d_A(z)$ は極大値を持っているようだ。$d_A(z)$ が極大となる $z$ を求めてみる。

グラフからわかるように，角径距離 $d_A(z)$ は極大値を持っているようだ。$d_A(z)$ が極大となる $z$ を求めてみる。

dA

$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合の角径距離

$H_0$ を省略して…

In [1]:
dA(z, Omega):= 2/(Omega**2*(1+z)**2) * 
  (2-Omega+ Omega*z -(2-Omega)*sqrt(1+Omega*z));
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}{\it dA}\left(z , \Omega\right):=\frac{2}{\Omega^2\,\left(1+z\right)^2}\,\left(2-\Omega+\Omega\,z+\left(-\left(2-\Omega\right)\right)\,\sqrt{1+\Omega\,z}\right)\]

$\Omega_{\rm m} = 1$ の場合の $d_A(z)$ が極大となる赤方偏移

In [2]:
dA(z, 1);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\frac{2\,\left(-\sqrt{z+1}+z+1\right)}{\left(z+1\right)^2}\]
In [3]:
ddA: diff(dA(z, 1), z), ratsimp;
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}-\frac{2\,\sqrt{z+1}-3}{\sqrt{z+1}\,\left(z^2+2\,z+1\right)}\]
In [4]:
solve(ddA = 0, z);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\left[ z=\frac{5}{4} \right] \]

$\Omega_{\rm m} = 0.1$ の場合には数値的に求める

$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合であっても，$d_A(z)$ が極大となる $z$ は3次方程式を解いて求める必要がある。そこで，解の公式から厳密解を求めるよりも，以下のように数値解を求めてみることにする。

In [5]:
ddA: diff(dA(z, 1/10), z), ratsimp;
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}-\frac{\sqrt{z+10}\,\left(2\,10^{\frac{3}{2}}\,z+74\,10^{\frac{3}{2}}\right)-570\,z-7410}{\sqrt{z+10}\,\left(\sqrt{10}\,z^3+3\,\sqrt{10}\,z^2+3\,\sqrt{10}\,z+\sqrt{10}\right)}\]
In [6]:
/* 角径距離のグラフから極大は 2 から 5 までの間にありそう */
find_root(ddA = 0, z, 2, 5);
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}2.835430200415257\]

3次方程式を解く例

$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合，$d_A(z)$ が極大となる $z$ を3次方程式を解いて求めてみる。

In [7]:
ddA: diff(dA(z, Omega), z), ratsimp;
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}-\frac{\sqrt{\Omega\,z+1}\,\left(2\,\Omega\,z-6\,\Omega+8\right)+\left(3\,\Omega^2-6\,\Omega\right)\,z-\Omega^2+6\,\Omega-8}{\sqrt{\Omega\,z+1}\,\left(\Omega^2\,z^3+3\,\Omega^2\,z^2+3\,\Omega^2\,z+\Omega^2\right)}\]
In [8]:
/* 分子がゼロになればいいのだから... */
tmp: num(ddA);
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}-\sqrt{\Omega\,z+1}\,\left(2\,\Omega\,z-6\,\Omega+8\right)-\left(3\,\Omega^2-6\,\Omega\right)\,z+\Omega^2-6\,\Omega+8\]
In [9]:
/* ルートの項を二乗して 3次方程式に */
eq: (tmp - (-(3*Omega**2-6*Omega)*z+ Omega**2 - 6*Omega + 8))**2 
         - (-(3*Omega**2-6*Omega)*z+ Omega**2 - 6*Omega + 8)**2 = 0, ratsimp;
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}4\,\Omega^3\,z^3+\left(12\,\Omega^3-9\,\Omega^4\right)\,z^2+\left(6\,\Omega^4-12\,\Omega^3\right)\,z-\Omega^4+12\,\Omega^3-16\,\Omega^2=0\]
In [10]:
sols: solve(eq, z)$
sols[3], ratsimp;
ev(sols[3], Omega=1);
ev(sols[3], Omega=0.1);
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{11}$}z=\frac{\left(27\,\Omega^4-144\,\Omega^3+\sqrt{1-\Omega}\,\left(64\,\Omega^2-192\,\Omega+128\right)+272\,\Omega^2-256\,\Omega+128\right)^{\frac{2}{3}}+\Omega^{\frac{1}{3}}\,\left(3\,\Omega-4\right)\,\left(27\,\Omega^4-144\,\Omega^3+\sqrt{1-\Omega}\,\left(64\,\Omega^2-192\,\Omega+128\right)+272\,\Omega^2-256\,\Omega+128\right)^{\frac{1}{3}}+\Omega^{\frac{2}{3}}\,\left(9\,\Omega^2-32\,\Omega+32\right)}{4\,\Omega^{\frac{1}{3}}\,\left(27\,\Omega^4-144\,\Omega^3+\sqrt{1-\Omega}\,\left(64\,\Omega^2-192\,\Omega+128\right)+272\,\Omega^2-256\,\Omega+128\right)^{\frac{1}{3}}}\]
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{12}$}z=\frac{5}{4}\]
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{13}$}z=2.835430200415417\]

$\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} = 1$ の場合の角径距離

$H_0$ を省略して…

\begin{eqnarray}
d_A &=& \frac{1}{1+z} \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-\Omega_{\rm m}) + \Omega_{\rm m} (1+z)^3} }
\end{eqnarray}

In [11]:
f(z, Omega):= 1/(sqrt((1-Omega)+Omega*(1+z)**3));
rombergtol: 1E-12$

/* dA の微分 */
ddA(z, Omega):= - 1/(1+z)**2 * romberg(f(x, Omega), x, 0, z) + 
                  1/(1+z) * f(z, Omega);
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{14}$}f\left(z , \Omega\right):=\frac{1}{\sqrt{1-\Omega+\Omega\,\left(1+z\right)^3}}\]
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{16}$}{\it ddA}\left(z , \Omega\right):=\frac{-1}{\left(1+z\right)^2}\,{\it romberg}\left(f\left(x , \Omega\right) , x , 0 , z\right)+\frac{1}{1+z}\,f\left(z , \Omega\right)\]

$\Omega_{\rm m} = 0.1$ の場合に数値的に求める

In [12]:
/* 角径距離のグラフから極大は 1 から 3 までの間にありそう */
find_root(ddA(z, 1/10) = 0, z, 1, 3);
Out[12]:
\[\tag{${\it \%o}_{17}$}2.0793683111316\]

Planck 2018 results $\Omega_{\rm m} = 0.315$ の場合

Wikipedia 英語版の Angular diameter distance によると，$\Lambda \mbox{CDM}$ モデルでは $z$ が約 $1.5$ ぐらいのところで $d_A(z)$ の極大があるような記述がある。調べてみると，以下のように $z = 1.59$ あたりが極大値を与えることがわかる。

In [13]:
find_root(ddA(z, 315/1000) = 0, z, 1, 5);
Out[13]:
\[\tag{${\it \%o}_{18}$}1.587997010828216\]