Return to 宇宙論パラメータと宇宙年齢

補足：Maxima で宇宙年齢のグラフを描く

宇宙年齢の表式の導出については，以下のページを参照。

ここでは，Maxima を使って宇宙年齢のグラフを描いてみる。

$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合

$$H_0 t_0 = -\frac{1}{\Omega_{\rm m} -1}+\frac{\Omega_{\rm m}}{(\Omega_{\rm m}-1)^{\frac{3}{2}} }
\tan^{-1}\sqrt{\Omega_{\rm m}-1} \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} > 1$$$$H_0 t_0 = \frac{1}{1-\Omega_{\rm m}}-\frac{\Omega_{\rm m}}{(1-\Omega_{\rm m})^{\frac{3}{2}} }
\tanh^{-1}\sqrt{1-\Omega_{\rm m}} \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} < 1$$

$\Omega_{\rm m} \rightarrow \Omega$ として…

In [1]:
/* Omega > 1 */
t1(Omega):= -1/(Omega-1) + Omega/((Omega-1)*sqrt(Omega-1)) * atan(sqrt(Omega-1));
/* Omega < 1 */
t2(Omega):= 1/(1-Omega) - Omega/((1-Omega)*sqrt(1-Omega)) * atanh(sqrt(1-Omega));
/* Omega = 1 */
t0(Omega):= 2/3;

t(Omega):= if Omega > 1 then t1(Omega) elseif Omega = 1 then t0(Omega) else t2(Omega);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}t_{1}\left(\Omega\right):=\frac{-1}{\Omega-1}+\frac{\Omega}{\left(\Omega-1\right)\,\sqrt{\Omega-1}}\,\arctan \sqrt{\Omega-1}\]
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}t_{2}\left(\Omega\right):=\frac{1}{1-\Omega}-\frac{\Omega}{\left(1-\Omega\right)\,\sqrt{1-\Omega}}\,{\rm atanh}\; \sqrt{1-\Omega}\]
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}t_{0}\left(\Omega\right):=\frac{2}{3}\]
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}t\left(\Omega\right):=\mathbf{if}\;\Omega>1\;\mathbf{then}\;t_{1}\left(\Omega\right)\;\mathbf{elseif}\;\Omega=1\;\mathbf{then}\;t_{0}\left(\Omega\right)\;\mathbf{else}\;t_{2}\left(\Omega\right)\]

$k = 0$ の場合

$$H_0 t_0 = \frac{2}{3\sqrt{\Omega_{\rm m} -1}}\tan^{-1} \sqrt{\Omega_{\rm m} -1} \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} > 1$$$$H_0 t_0 = \frac{2}{3\sqrt{1-\Omega_{\rm m} }}\tanh^{-1} \sqrt{1-\Omega_{\rm m} } \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} < 1$$

$\Omega_{\rm m} \rightarrow \Omega$ として…

In [2]:
/* Omega > 1 */
T1(Omega):= 2/(3*sqrt(Omega-1)) * atan(sqrt(Omega-1));
/* Omega < 1 */
T2(Omega):= 2/(3*sqrt(1-Omega)) * atanh(sqrt(1-Omega));

T(Omega):= if Omega > 1 then T1(Omega) elseif Omega = 1 then t0(Omega) else T2(Omega);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}T_{1}\left(\Omega\right):=\frac{2}{3\,\sqrt{\Omega-1}}\,\arctan \sqrt{\Omega-1}\]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}T_{2}\left(\Omega\right):=\frac{2}{3\,\sqrt{1-\Omega}}\,{\rm atanh}\; \sqrt{1-\Omega}\]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}T\left(\Omega\right):=\mathbf{if}\;\Omega>1\;\mathbf{then}\;T_{1}\left(\Omega\right)\;\mathbf{elseif}\;\Omega=1\;\mathbf{then}\;t_{0}\left(\Omega\right)\;\mathbf{else}\;T_{2}\left(\Omega\right)\]

plot2d() で描く例

In [3]:
plot2d(
  [T(Omega), t(Omega)], [Omega, 0.01, 2], 
  /* 表示範囲 */
  [y, 0.5, 1.5], 
  /* グリッド */
  grid2d, 
  [gnuplot_preamble, "set xtics 0.2; set mxtics 2;
                      set ytics 0.1; set mytics 2;"],
  
  /* 凡例 */
  [legend, "Ω_Λ = 1 - Ω_m", "Ω_Λ = 0"], 
  /* 線の太さと色 */
  [style, [lines, 2, red], [lines, 2, black]], 
  /* 座標軸のラベル */
  [xlabel, "Ω_m"], [ylabel, "H_0 t_0"], 
  /* グラフのタイトル */
  [title, "宇宙年齢の密度パラメータ依存性"]
)$

draw2d() で描く例

In [5]:
draw2d(
  font = "Arial", font_size = 14, 
  title = "{/=16 宇宙年齢の密度パラメータ依存性}", 
  xlabel = "{/Times=16 Ω_m}", 
  ylabel = "{/jsMath-cmti10=16 H}_0 {/jsMath-cmti10=16 t}_0", 
  yrange = [0.5, 1.5],
  user_preamble = "set xtics 0.2; set mxtics 2; 
                   set ytics 0.1; set mytics 2;
                   set xtics mirror; set ytics mirror; set grid;",

  
  line_width = 2, 
  color = "red", key = "{/Times=16 Ω_Λ = 1 - Ω_m}",
  explicit(T(Omega), Omega, 0.01, 2), 
  color = "black", key = "{/Times=16 Ω_Λ = 0}", 
  explicit(t(Omega), Omega, 0.01, 2)
)$