補足：gnuplot でスケール因子のグラフを描く

導出については，以下のページ：

• 補足：スケール因子の解

$t = 0$ からの $a(t)$ の立ち上がりを揃えたグラフの例

異なる $\Omega_{\rm m}$ の場合のスケール因子の時間変化のグラフを，$t=0$ でのスケール因子 $a(t)$ の傾きを揃えて描く場合。同じようにビッグバンで始まった宇宙の膨張が，$\Omega_{\rm m}$ の値によってその後の膨張の仕方に違いがあらわれ，ある場合には途中で膨張が止まって収縮に転じたり，ある場合には永久に膨張が続いたりするんだなぁ… ということを理解するのに適切なグラフ。

$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合

$\Omega_{\rm m} \rightarrow \Omega$ として

\begin{eqnarray}
a_1(u, \Omega) \equiv \frac{a}{a_0}
&=& \frac{\Omega}{2 (\Omega -1)}
\left(1 -\cos\left(\sqrt{\Omega-1} u\right)\right)\\
t_1(u, \Omega) \equiv H_0 t &=& \frac{\Omega}{2 (\Omega -1) }
\left(u -\frac{\sin\left(\sqrt{\Omega-1} u\right)}{\sqrt{\Omega-1}}\right)
\end{eqnarray}

となりそうだが，$|u| \ll 1$ での振るまいが後述の $\Omega_{\rm m} = 1$ の場合のように（$\Omega$ の値によらずに）

\begin{eqnarray}
a_1 &\simeq& \frac{u^2}{4} \\
t_1 &\simeq& \frac{u^3}{12}
\end{eqnarray}

となるためには，以下のように縦横等倍で縮尺を変えてやればよい。

\begin{eqnarray}
a_1(u, \Omega) \equiv \frac{a}{a_0} \times \Omega^{-1}
&\Rightarrow& \frac{1}{2 (\Omega -1)}
\left(1 -\cos\left(\sqrt{\Omega-1} u\right)\right)\\
t_1(u, \Omega) \equiv H_0 t \times \Omega^{-1}&\Rightarrow& \frac{1}{2 (\Omega -1) }
\left(u -\frac{\sin\left(\sqrt{\Omega-1} u\right)}{\sqrt{\Omega-1}}\right)
\end{eqnarray}

$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} < 1$ すなわち $k < 0$ の場合

同様に

\begin{eqnarray}
a_2(u, \Omega) \equiv \frac{a}{a_0}\times \Omega^{-1}
&=& \frac{1}{2 (1-\Omega)}
\left(\cosh\left(\sqrt{1-\Omega} u\right) -1\right)
\\
t_2(u, \Omega) \equiv H_0 t \times \Omega^{-1}&=& \frac{1}{2 (1 -\Omega) }
\left(\frac{\sinh\left(\sqrt{1-\Omega} u\right)}{\sqrt{1-\Omega}}- u\right)
\end{eqnarray}

$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} = 1$ すなわち $k = 0$ の場合

\begin{eqnarray}
a_3(u) \equiv \lim_{\Omega\rightarrow 1} a_1(u, \Omega) &=& \frac{u^2}{4} \\
t_3(u) \equiv \lim_{\Omega\rightarrow 1} t_1(u, \Omega) &=& \frac{u^3}{12}
\end{eqnarray}

$t = t_0$ で $a(t_0)$ と $H_0 = \frac{\dot{a}}{a}|_{t_0}$ を揃えたグラフの例

異なる $\Omega_{\rm m}$ の場合のスケール因子の時間変化のグラフを，現在時刻 $t=t_0$ でのスケール因子 $a(t)$ の傾きを揃えて描く場合。現在時刻でのスケール因子の傾きを表すハッブル定数 $H_0$ の値が同じでも，時間を遡るとやがて $a(t)$ がゼロになる時刻すなわち宇宙年齢が異なるのだなぁ… ということを理解するのに便利なグラフ。

$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合

\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} \equiv x
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)}
\left(1 -\cos\left(\sqrt{k} \eta\right)\right)
\\
H_0 t &=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)^{\frac{3}{2}} }
\left(\sqrt{k} \eta -\sin\left(\sqrt{k} \eta\right)\right)
\end{eqnarray}

これから
\begin{eqnarray}
\cos\sqrt{k} \eta &=& 1 – \frac{2 (\Omega_{\rm m} -1)}{\Omega_{\rm m}}x\\
\sqrt{k} \eta &=& \cos^{-1} \left(1 – \frac{2 (\Omega_{\rm m} -1)}{\Omega_{\rm m}}x \right)
\end{eqnarray}

$\Omega_{\rm m} \rightarrow \Omega$ として

\begin{eqnarray}
\therefore\ \ T_1(x, \Omega) &\equiv& H_0 t = \frac{\Omega}{2 (\Omega -1)^{\frac{3}{2}} }
\left(\sqrt{k} \eta -\sin \sqrt{k} \eta \right) \\
&=& \frac{\Omega}{2 (\Omega -1)^{\frac{3}{2}} }
\left(\cos^{-1} \left(1 – \frac{2 (\Omega -1)}{\Omega} x \right)
– \sqrt{1 – \left(1 – \frac{2 (\Omega -1)}{\Omega} x \right)^2} \right)
\end{eqnarray}

として，$H_0 t$ を $x$ で表す。

$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} < 1$ すなわち $k < 0$ の場合

\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} \equiv x
&=&\frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m} )}
\left(\cosh \sqrt{k} \eta -1\right)
\end{eqnarray}

これから
\begin{eqnarray}
\cosh\sqrt{k} \eta &=& 1 + \frac{2 (1-\Omega_{\rm m})}{\Omega_{\rm m}}x \\
\sqrt{k} \eta &=& \cosh^{-1} \left(1 + \frac{2 (1-\Omega_{\rm m})}{\Omega_{\rm m}}x\right)
\end{eqnarray}

$\Omega_{\rm m} \rightarrow \Omega$ として

\begin{eqnarray}
\therefore\ \
T_2(x, \Omega) &\equiv& H_0 t = \frac{\Omega}{2 (1-\Omega)^{\frac{3}{2}} }
\left(\sinh \sqrt{k} \eta – \sqrt{k} \eta \right) \\
&=& \frac{\Omega}{2 (1-\Omega)^{\frac{3}{2}} }
\left(
\sqrt{\left(1 + \frac{2 (1-\Omega)}{\Omega}x \right)^2 – 1} –
\cosh^{-1} \left(1 + \frac{2 (1-\Omega)}{\Omega}x\right) \right)
\end{eqnarray}

として，$H_0 t$ を $x$ で表す。

$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} = 1$ すなわち $k = 0$ の場合

\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} = x &=& \left(\frac{3}{2}H_0 t \right)^{\frac{2}{3}}
\end{eqnarray}$$\therefore\ \ T_3(x) \equiv H_0 t = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$$

$k = 0$ の場合

宇宙定数がある場合のスケール因子の時間変化についても追加しておく。

$k = 0, \ 0<\Omega_{\rm m} < 1$ つまり $\Omega_{\Lambda} > 0$ の場合

\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} = x &=&
\left\{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{1-\Omega_{\rm m}}}
\sinh\left(\frac{3\sqrt{1-\Omega_{\rm m}}}{2} H_0 t\right)\right\}^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}

より $\Omega_{\rm m} \rightarrow \Omega$ として

$$T_3(x, \Omega) \equiv H_0 t = \frac{2}{3\sqrt{1-\Omega}}
\sinh^{-1} \left( \sqrt{\frac{1-\Omega}{\Omega}} x^{\frac{3}{2}}\right)$$