導出については，以下のページ：
必要なモジュールの import
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 以下はグラフを SVG で Notebook にインライン表示させる設定
%config InlineBackend.figure_formats = ['svg']
# デフォルト設定
config = {
'axes.labelsize': 'x-large',
'mathtext.fontset': 'cm'
}
plt.rcParams.update(config)
$t = 0$ からの $a(t)$ の立ち上がりを揃えたグラフの例
異なる $\Omega_{\rm m}$ の場合のスケール因子の時間変化のグラフを，$t=0$ でのスケール因子 $a(t)$ の傾きを揃えて描く場合。同じようにビッグバンで始まった宇宙の膨張が，$\Omega_{\rm m}$ の値によってその後の膨張の仕方に違いがあらわれ，ある場合には途中で膨張が止まって収縮に転じたり，ある場合には永久に膨張が続いたりするんだなぁ… ということを理解するのに適切なグラフ。
$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合
$\Omega_{\rm m} \rightarrow \Omega$ として
\begin{eqnarray}
a_1(u, \Omega) = \frac{a}{a_0}
&=& \frac{\Omega}{2 (\Omega -1)}
\left(1 -\cos\left(\sqrt{\Omega-1} u\right)\right)\\
t_1(u, \Omega) = H_0 t &=& \frac{\Omega}{2 (\Omega -1) }
\left(u -\frac{\sin\left(\sqrt{\Omega-1} u\right)}{\sqrt{\Omega-1}}\right)
\end{eqnarray}
となりそうだが，$|u| \ll 1$ での振るまいが後述の $\Omega_{\rm m} = 1$ の場合のように（$\Omega$ の値によらずに）
\begin{eqnarray}
a_1 &\simeq& \frac{u^2}{4} \\
t_1 &\simeq& \frac{u^3}{12}
\end{eqnarray}
となるためには，以下のように縦横等倍で縮尺を変えてやればよい。
\begin{eqnarray}
a_1(u, \Omega) \equiv \frac{a}{a_0} \times \Omega^{-1}
&=& \frac{1}{2 (\Omega -1)}
\left(1 -\cos\left(\sqrt{\Omega-1} u\right)\right)\\
t_1(u, \Omega) \equiv H_0 t \times \Omega^{-1}&=& \frac{1}{2 (\Omega -1) }
\left(u -\frac{\sin\left(\sqrt{\Omega-1} u\right)}{\sqrt{\Omega-1}}\right)
\end{eqnarray}
def a1(u, Omega):
return 1/(2*(Omega-1))*(1-np.cos(np.sqrt(Omega-1)*u))
def t1(u, Omega):
return 1/(2*(Omega-1))*(u-np.sin(np.sqrt(Omega-1)*u)/np.sqrt(Omega-1))
$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} < 1$ すなわち $k < 0$ の場合
同様に
\begin{eqnarray}
a_2(u, \Omega) \equiv \frac{a}{a_0}\times \Omega^{-1}
&=& \frac{1}{2 (1-\Omega)}
\left(\cosh\left(\sqrt{1-\Omega} u\right) -1\right)
\\
t_2(u, \Omega) \equiv H_0 t \times \Omega^{-1}&=& \frac{1}{2 (1 -\Omega) }
\left(\frac{\sinh\left(\sqrt{1-\Omega} u\right)}{\sqrt{1-\Omega}}- u\right)
\end{eqnarray}
def a2(u, Omega):
return 1/(2*(1-Omega))*(np.cosh(np.sqrt(1-Omega)*u)-1)
def t2(u, Omega):
return 1/(2*(1-Omega))*(np.sinh(np.sqrt(1-Omega)*u)/np.sqrt(1-Omega)-u)
$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} = 1$ すなわち $k = 0$ の場合
\begin{eqnarray}
a_3(u) \equiv \lim_{\Omega\rightarrow 1} a_1(u, \Omega) &=& \frac{u^2}{4} \\
t_3(u) \equiv \lim_{\Omega\rightarrow 1} t_1(u, \Omega) &=& \frac{u^3}{12}
\end{eqnarray}
def a3(u):
return u**2/4
def t3(u):
return u**3/12
def a(u, Omega):
if Omega > 1:
return a1(u, Omega)
elif Omega == 1:
return a3(u)
else:
return a2(u, Omega)
def t(u, Omega):
if Omega > 1:
return t1(u, Omega)
elif Omega == 1:
return t3(u)
else:
return t2(u, Omega)
Omega1 = 1.1
Omega2 = 0.9
# 0 <= u <= u1 まで
u1 = 2*np.pi/np.sqrt(Omega1 -1)
urange = np.linspace(0, u1, 100)
# 横軸表示範囲
tend = t1(u1, Omega1)*1.02
plt.plot(t(urange, Omega2), a(urange, Omega2),
color='blue');
plt.plot(t(urange, 1 ), a(urange, 1 ),
color='black');
plt.plot(t(urange, Omega1), a(urange, Omega1),
color='red');
# 横軸縦軸の表示範囲
plt.xlim(0, tend)
plt.ylim(0, 42)
# 座標軸の目盛を非表示に
plt.xticks([0])
plt.yticks([0])
# 数式フォント設定
plt.title(r"$\Omega_{\Lambda}=0$ の場合のスケール因子の時間発展")
plt.xlabel(r"$t$")
plt.ylabel(r"$a(t)$")
# 曲線の近くにラベルと数式フォント設定
plt.text(60, 38, r"$\Omega_{\rm{m}} < 1\ \ (k < 0)$",
{'color':'blue', 'size':'x-large'})
plt.text(60, 18, r"$\Omega_{\rm{m}} = 1\ \ (k = 0)$",
{'color':'black', 'size':'x-large'})
plt.text(60, 10.5, r"$\Omega_{\rm{m}} > 1\ \ (k > 0)$",
{'color':'red', 'size':'x-large'});
$t = t_0$ で $a(t_0)$ と $H_0 = \frac{\dot{a}}{a}|_{t_0}$ を揃えたグラフの例
異なる $\Omega_{\rm m}$ の場合のスケール因子の時間変化のグラフを，現在時刻 $t=t_0$ でのスケール因子 $a(t)$ の傾きを揃えて描く場合。現在時刻でのスケール因子の傾きを表すハッブル定数 $H_0$ の値が同じでも，時間を遡るとやがて $a(t)$ がゼロになる時刻すなわち宇宙年齢が異なるのだなぁ… ということを理解するのに便利なグラフ。
$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} \equiv x
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)}
\left(1 -\cos\left(\sqrt{k} \eta\right)\right)
\\
H_0 t &=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)^{\frac{3}{2}} }
\left(\sqrt{k} \eta -\sin\left(\sqrt{k} \eta\right)\right)
\end{eqnarray}
これから
\begin{eqnarray}
\cos\sqrt{k} \eta &=& 1 – \frac{2 (\Omega_{\rm m} -1)}{\Omega_{\rm m}}x\\
\sqrt{k} \eta &=& \cos^{-1} \left(1 – \frac{2 (\Omega_{\rm m} -1)}{\Omega_{\rm m}}x \right)
\end{eqnarray}
$\Omega_{\rm m} \rightarrow \Omega$ として
\begin{eqnarray}
\therefore\ \ T_1(x, \Omega) &\equiv& H_0 t = \frac{\Omega}{2 (\Omega -1)^{\frac{3}{2}} }
\left(\sqrt{k} \eta -\sin \sqrt{k} \eta \right) \\
&=& \frac{\Omega}{2 (\Omega -1)^{\frac{3}{2}} }
\left(\cos^{-1} \left(1 – \frac{2 (\Omega -1)}{\Omega} x \right)
– \sqrt{1 – \left(1 – \frac{2 (\Omega -1)}{\Omega} x \right)^2} \right)
\end{eqnarray}
として，$H_0 t$ を $x$ で表す。
def T1(x, Omega):
return (Omega/(2*(Omega-1)*np.sqrt(Omega-1)) *
(np.arccos(1 - 2*(Omega-1)/Omega * x)
- np.sqrt(1-(1-2*(Omega-1)/Omega * x)**2)))
$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} < 1$ すなわち $k < 0$ の場合
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} \equiv x
&=&\frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m} )}
\left(\cosh \sqrt{k} \eta -1\right)a
\end{eqnarray}
これから
\begin{eqnarray}
\cosh\sqrt{k} \eta &=& 1 + \frac{2 (1-\Omega_{\rm m})}{\Omega_{\rm m}}x \\
\sqrt{k} \eta &=& \cosh^{-1} \left(1 + \frac{2 (1-\Omega_{\rm m})}{\Omega_{\rm m}}x\right)
\end{eqnarray}
$\Omega_{\rm m} \rightarrow \Omega$ として
\begin{eqnarray}
\therefore\ \
T_2(x, \Omega) &\equiv& H_0 t = \frac{\Omega}{2 (1-\Omega)^{\frac{3}{2}} }
\left(\sinh \sqrt{k} \eta – \sqrt{k} \eta \right) \\
&=& \frac{\Omega}{2 (1-\Omega)^{\frac{3}{2}} }
\left(
\sqrt{\left(1 + \frac{2 (1-\Omega)}{\Omega}x \right)^2 – 1} –
\cosh^{-1} \left(1 + \frac{2 (1-\Omega)}{\Omega}x\right) \right)
\end{eqnarray}
として，$H_0 t$ を $x$ で表す。
def T2(x, Omega):
return (Omega/(2*(1-Omega)*np.sqrt(1-Omega)) *
(np.sqrt((1+2*(1-Omega)/Omega * x)**2 -1)
-np.arccosh(1 + 2*(1-Omega)/Omega * x)))
独り言：あぁそう。NumPy は $\cosh^{-1} x$ を np.arccosh(x) としているんだぁ。逆双曲線関数は arc と書くべきではないんだよなぁ。
$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} = 1$ すなわち $k = 0$ の場合
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} = x &=& \left(\frac{3}{2}H_0 t \right)^{\frac{2}{3}}
\end{eqnarray}$$\therefore\ \ T_3(x) \equiv H_0 t = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$$
def T3(x):
return 2/3 * x*np.sqrt(x)
def T(x, Omega):
if Omega > 1:
return T1(x, Omega)
elif Omega == 1:
return T3(x)
else:
return T2(x, Omega)
Omega1 = 2
Omega2 = 0.1
x = np.linspace(0, 3, 100)
x1 = np.linspace(0, 2, 100)
plt.plot(T(x, Omega2)-T(1, Omega2), x, color='blue',
label=r"$\Omega_{\rm m} < 1\ \ (k < 0)$")
plt.plot(T(x, 1 )-T(1, 1 ), x, color='black',
label=r"$\Omega_{\rm m} = 1\ \ (k = 0)$")
plt.plot(T(x1, Omega1)-T(1, Omega1), x1, color='red',
label=r"$\Omega_{\rm m} > 1\ \ (k > 0)$")
# 横軸縦軸の表示範囲
plt.xlim(-1, 1.6)
plt.ylim(0, 3)
# グリッド（格子線）の表示
plt.grid(which="major", linestyle = 'dotted')
# 数式フォント設定
plt.title(r"$\Omega_{\Lambda}=0$ の場合のスケール因子の時間発展")
plt.xlabel(r"$H_0 (t -t_0)$")
plt.ylabel(r"$a(t)/a_0$")
plt.legend(prop={"size":"large"})
# 現在 t=t0
plt.axhline(1, color='black', dashes=(3, 3), linewidth=0.6)
plt.axvline(0, color='black', dashes=(3, 3), linewidth=0.6)
# 副目盛も表示
plt.minorticks_on()
# 副目盛には grid をつけない
plt.grid(False, which="minor");
plt.legend(prop={"size":"large"});
$k = 0, \ \Omega_{\Lambda} > 0$ の場合の追加
宇宙定数がある場合のスケール因子の時間変化についても追加しておく。
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} = x &=&
\left\{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{1-\Omega_{\rm m}}}
\sinh\left(\frac{3\sqrt{1-\Omega_{\rm m}}}{2} H_0 t\right)\right\}^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}
より $\Omega_{\rm m} \rightarrow \Omega$ として
$$T_4(x, \Omega) \equiv H_0 t = \frac{2}{3\sqrt{1-\Omega}}
\sinh^{-1} \left( \sqrt{\frac{1-\Omega}{\Omega}} x^{\frac{3}{2}}\right)$$
def T4(x, Omega):
return 2/(3*np.sqrt(1-Omega)) * np.arcsinh(np.sqrt((1-Omega)/Omega) * x*np.sqrt(x))
独り言：あぁそう。NumPy は $\sinh^{-1} x$ を np.arcsinh(x) としているんだぁ。逆双曲線関数は arc と書くべきではないんだよなぁ。
また，$t = 0$ からの $a(t)$ の立ち上がりを揃えたグラフにするには，以下のように定義すればよいであろう。
def a4(u, Omega):
return (np.sqrt(1/(1-Omega))*np.sinh(3*np.sqrt(1-Omega)*u**3/12/2))**(2/3)
def t4(u, Omega):
return u**3/12
$t = 0$ からの $a(t)$ の立ち上がりを揃えたグラフの例
Omega1 = 1.1
Omega2 = 0.7
# 0 <= u <= u1 まで
u1 = 2*np.pi/np.sqrt(Omega1 -1)
urange = np.linspace(0, u1, 100)
# 横軸表示範囲
tend = t1(u1, Omega1)*1.1
plt.plot(t4(urange, 0.999), a4(urange, 0.999),
color='purple');
plt.plot(t(urange, Omega2), a(urange, Omega2),
color='blue');
plt.plot(t(urange, 1 ), a(urange, 1 ),
color='black');
plt.plot(t(urange, Omega1), a(urange, Omega1),
color='red');
# 横軸縦軸の表示範囲
plt.xlim(0, tend)
plt.ylim(0, 120)
# 座標軸の目盛を非表示に
plt.xticks([0])
plt.yticks([0])
# 数式フォント設定
plt.title(r"スケール因子の時間発展")
plt.xlabel(r"$t$")
plt.ylabel(r"$a(t)$")
# 曲線の近くにラベルと数式フォント設定
plt.text(80, 75, r"$k=0, \Omega_{\Lambda} >0$",
{'color':'purple', 'size':'large'})
plt.text(80, 62, r"$k<0, \Omega_{\Lambda} =0$",
{'color':'blue', 'size':'large'})
plt.text(80, 30, r"$k=0, \Omega_{\Lambda} =0$",
{'color':'black', 'size':'large'})
plt.text(80, 9, r"$k>0, \Omega_{\Lambda} =0$",
{'color':'red', 'size':'large'});
$t = t_0$ で $a(t_0)$ と $H_0 = \frac{\dot{a}}{a}|_{t_0}$ を揃えたグラフの例
Omega1 = 2
Omega2 = 0.3
x = np.linspace(0, 3, 100)
x1 = np.linspace(0, 2, 100)
plt.plot(T4(x, Omega2)-T4(1, Omega2), x, color='purple',
label=r"$\Omega_{\rm m} =%.1f, \ \Omega_{\Lambda} =%.1f$" % (Omega2, 1-Omega2))
plt.plot(T(x, Omega2)-T(1, Omega2), x, color='blue',
label=r"$\Omega_{\rm m} =%.1f, \ \Omega_{\Lambda} =%.1f$" % (Omega2, 0))
plt.plot(T(x, 1 )-T(1, 1 ), x, color='black',
label=r"$\Omega_{\rm m} =%.1f, \ \Omega_{\Lambda} =%.1f$" % (1, 0))
plt.plot(T(x1, Omega1)-T(1, Omega1), x1, color='red',
label=r"$\Omega_{\rm m} =%.1f, \ \Omega_{\Lambda} =%.1f$" % (Omega1, 0))
# 横軸縦軸の表示範囲
plt.xlim(-1, 1.6)
plt.ylim(0, 3)
# グリッド（格子線）の表示
plt.grid(which="major", linestyle = 'dotted')
# 数式フォント設定
plt.title(r"スケール因子の時間発展")
plt.xlabel(r"$H_0 (t -t_0)$")
plt.ylabel(r"$a(t)/a_0$")
plt.legend(prop={"size":"large"})
# 現在 t=t0
plt.axhline(1, color='black', dashes=(3, 3), linewidth=0.6)
plt.axvline(0, color='black', dashes=(3, 3), linewidth=0.6)
# 副目盛も表示
plt.minorticks_on()
# 副目盛には grid をつけない
plt.grid(False, which="minor");
plt.legend(prop={"size":"large"});
