相対論の理解とその周辺
Return to 平行線の公理の破れとリーマンテンソル
偏差ベクトル ξ=ξμeμ に対する式 dξdv=u,νξν,ordξμdv=u ,νμξνから(リーマンテンソルの成分を使って書かれる前の)測地線偏差方程式 d2ξdv2=(eμ,ρν–eμ,νρ)uμuνξρ を導く。ここで,u=uμeμ は測地線方程式 dudv=0を満たす。
d2ξdv2=ddv(dξdv)=ddv(u,ρξρ)=u,ρνuνξρ+u,νdξνdv=u,ρνuνξρ+u,ν(u ,ρνξρ)=u,ρνuνξρ+((u,νuν),ρ–u,νρuν)ξρ=(u,ρν–u,νρ)uνξρ+(dudv),ρξρ=(u,ρν–u,νρ)uνξρ
というわけで,ここまできた。 d2ξdv2=(u,ρν–u,νρ)uνξρ
ここで, u,ρν=(uμeμ),ρν=u ,ρνμeμ+u ,ρμeμ,ν+u ,νμeμ,ρ+uμeμ,ρν であり,赤色部分は添字 ρ と ν に対して対称であるから直ちに u,ρν–u,νρ=(eμ,ρν–eμ,νρ)uμ ゆえに, d2ξdv2=(eμ,ρν–eμ,νρ)uμuνξρ
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