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Return to 平行線の公理の破れとリーマンテンソル

補足:測地線偏差方程式の導出

偏差ベクトル ξ=ξμeμ に対する式
dξdv=u,νξν,ordξμdv=u  ,νμξνから(リーマンテンソルの成分を使って書かれる前の)測地線偏差方程式
d2ξdv2=(eμ,ρνeμ,νρ)uμuνξρ
を導く。ここで,u=uμeμ測地線方程式
dudv=0を満たす。

d2ξdv2=ddv(dξdv)=ddv(u,ρξρ)=u,ρνuνξρ+u,νdξνdv=u,ρνuνξρ+u,ν(u  ,ρνξρ)=u,ρνuνξρ+((u,νuν),ρu,νρuν)ξρ=(u,ρνu,νρ)uνξρ+(dudv),ρξρ=(u,ρνu,νρ)uνξρ

というわけで,ここまできた。
d2ξdv2=(u,ρνu,νρ)uνξρ

ここで,
u,ρν=(uμeμ),ρν=u  ,ρνμeμ+u  ,ρμeμ,ν+u  ,νμeμ,ρ+uμeμ,ρν
であり,赤色部分は添字 ρν に対して対称であるから直ちに
u,ρνu,νρ=(eμ,ρνeμ,νρ)uμ
ゆえに,
d2ξdv2=(eμ,ρνeμ,νρ)uμuνξρ