EinsteinPy と SymPy を使って球対称な計量から宇宙定数がある場合のアインシュタイン方程式
$$G^{\mu}_{\ \ \nu} + \Lambda\,\delta^{\mu}_{\ \ \nu} =0$$
を解き,Kottler 解を求める。
必要なパッケージの import
from sympy import *
from einsteinpy.symbolic import *
球対称な計量
ランダウ・リフシッツ「場の古典論」の記述にそって,球対称な計量を以下のようにおく。($\lambda$ は予約語?なので $\mu$ にした。)
$$ds^2 = – e^{\nu(t,r)} dt^2 + e^{\mu(t,r)} dr^2 + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2 \right)$$
t, r, theta, phi = symbols('t, r, theta, phi')
mu = Function('mu')(t, r)
nu = Function('nu')(t, r)
Metric = diag(-exp(nu), exp(mu), r**2, r**2 * sin(theta)**2).tolist()
g = MetricTensor(Metric, [t, r, theta, phi])
g.tensor()
アインシュタイン・テンソル
$\displaystyle G^{\mu}_{\ \ \nu} = R^{\mu}_{\ \ \nu} – \frac{1}{2} R \delta^{\mu}_{\ \ \nu} $ = ein
とおく。(.change_config('ul')
で上付下付に)
ein=EinsteinTensor.from_metric(g).change_config('ul')
アインシュタイン方程式
$$G^{\mu}_{\ \ \nu} + \Lambda \delta^{\mu}_{\ \ \nu} = 0$$
Lambda = symbols('Lambda')
def EinEq(a, b):
return Eq(expand(ein[a,b]) + Lambda *KroneckerDelta(a, b), 0)
$\mu$ は時間に依存しないこと
$\displaystyle G^{1}_{\ \ 0} = 0$
EinEq(1, 0)
$\displaystyle G^{1}_{\ \ 0} = 0$ より
$$\frac{\partial \mu}{\partial t} = 0, \quad \therefore\ \ \mu(t, r) \Rightarrow \mu(r)$$
$\mu(r)$ として,あらためてアインシュタイン・テンソルを求めてみる。
t, r, theta, phi = symbols('t, r, theta, phi')
mu = Function('mu')(r)
nu = Function('nu')(t, r)
Metric = diag(-exp(nu), exp(mu), r**2, r**2 * sin(theta)**2).tolist()
g = MetricTensor(Metric, [t, r, theta, phi])
g.tensor()
ein=EinsteinTensor.from_metric(g).change_config('ul')
$\displaystyle G^{0}_{\ \ 0} +\Lambda =0$
EinEq(0, 0)
$\displaystyle G^{1}_{\ \ 1} +\Lambda =0$
EinEq(1, 1)
$\displaystyle G^{2}_{\ \ 2} +\Lambda =0$
EinEq(2, 2)
$\displaystyle G^{3}_{\ \ 3} +\Lambda = 0$
EinEq(3, 3)
$\displaystyle G^{2}_{\ \ 2} = \displaystyle G^{3}_{\ \ 3}$ であることを確認。$\displaystyle G^{2}_{\ \ 2} – \displaystyle G^{3}_{\ \ 3}$ がゼロとなることを示す。
ein[2,2] - ein[3,3]
$\nu = – \mu$ とおけること
simplify(EinEq(1, 1).lhs - EinEq(0, 0).lhs)
$G^1_{\ \ 1} – G^2_{\ \ 2} = 0$ より,以下の式が得られる。
$$\frac{\partial}{\partial r}\left(\mu(r) + \nu(t, r) \right) = 0$$
これから,
$$\nu(t, r) = – \mu(r) + f(t)$$
となる。
\begin{eqnarray}
\therefore\ \ e^{\nu(t, r)} dt^2 &=& e^{- \mu(r) + f(t)} dt^2 \\
&=& e^{- \mu(r)} \left( e^{\frac{f(t)}{2}} dt\right)^2
\end{eqnarray}
時間 $t$ のみの任意関数 $f(t)$ の自由度は,$e^{\frac{f(t)}{2}} dt \Rightarrow dt’$ なる新しい時間座標の定義によって吸収できるので,一般性を失うことなく $f(t) = 0$ すなわち
$$\nu(t, r) = – \mu(r)$$
とすることができる。
ということで,あらためて以下のような計量テンソルに対して,アインシュタイン・テンソルを計算してみる。
t, r, theta, phi = symbols('t, r, theta, phi')
mu = Function('mu')(r)
Metric = diag(-exp(-mu), exp(mu), r**2, r**2 * sin(theta)**2).tolist()
g = MetricTensor(Metric, [t, r, theta, phi])
g.tensor()
ein=EinsteinTensor.from_metric(g).change_config('ul')
EinEq(0, 0)
eq = expand(EinEq(0, 0).lhs * r**2)
eq
微分方程式を解き,$\mu(r)$ を求める
微分方程式 eq
$= \displaystyle \Lambda r^{2} – r e^{- \mu{\left(r \right)}} \frac{d}{d r} \mu{\left(r \right)} – 1 + e^{- \mu{\left(r \right)}} = 0$ を SymPy の dsolve()
を使って解く。
sol = dsolve(eq, mu)
sol
$\displaystyle e^{-\mu(r)} = \dots$
exp(-mu).subs(mu, sol.rhs).expand()
積分定数 $C_1$ は $\Lambda = 0$ のときにシュバルツシルト解になることから,
$$C_2 = – 3 r_g$$
となる。
最終的に
$$ds^2 = -\left(1 – \frac{r_g}{r} -\frac{\Lambda}{3} r^2\right) dt^2 + \frac{dr^2}{1 – \frac{r_g}{r}-\frac{\Lambda}{3} r^2} + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \,d\phi^2 \right)$$