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EinsteinPy と SymPy でアインシュタイン方程式を解いてシュバルツシルト解を求める

EinsteinPy と SymPy を使って球対称な計量から真空のアインシュタイン方程式

$$G^{\mu}_{\ \ \nu} = 0$$

を解き,シュバルツシルト解を求める。

必要なパッケージの import

In [1]:
from sympy import *
from einsteinpy.symbolic import *

球対称な計量

ランダウ・リフシッツ「場の古典論」の記述にそって,球対称な計量を以下のようにおく。($\lambda$ は予約語?なので $\mu$ にした。)

$$ds^2 = – e^{\nu(t,r)} dt^2 + e^{\mu(t,r)} dr^2 + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2 \right)$$

In [2]:
t, r, theta, phi = symbols('t, r, theta, phi')
mu = Function('mu')(t, r)
nu = Function('nu')(t, r)

Metric = diag(-exp(nu), exp(mu), r**2, r**2 * sin(theta)**2).tolist()
g = MetricTensor(Metric, [t, r, theta, phi])
g.tensor()
Out[2]:
$\displaystyle \left[\begin{matrix}- e^{\nu{\left(t,r \right)}} & 0 & 0 & 0\\0 & e^{\mu{\left(t,r \right)}} & 0 & 0\\0 & 0 & r^{2} & 0\\0 & 0 & 0 & r^{2} \sin^{2}{\left(\theta \right)}\end{matrix}\right]$

アインシュタイン・テンソル

$\displaystyle G^{\mu}_{\ \ \nu} = R^{\mu}_{\ \ \nu} – \frac{1}{2} R \delta^{\mu}_{\ \ \nu} $ = ein とおく。(.change_config('ul') で上付下付に)

In [3]:
ein=EinsteinTensor.from_metric(g).change_config('ul')

$\mu$ は時間に依存しないこと

$\displaystyle G^{1}_{\ \ 0}$

In [4]:
ein[1,0]
Out[4]:
$\displaystyle \frac{e^{- \mu{\left(t,r \right)}} \frac{\partial}{\partial t} \mu{\left(t,r \right)}}{r}$

$\displaystyle G^{1}_{\ \ 0} = 0$ より

$$\frac{\partial \mu}{\partial t} = 0, \quad \therefore\ \ \mu(t, r) \Rightarrow \mu(r)$$

$\mu(r)$ として,あらためてアインシュタイン・テンソルを求めてみる。

In [5]:
t, r, theta, phi = symbols('t, r, theta, phi')
mu = Function('mu')(r)
nu = Function('nu')(t, r)

Metric = diag(-exp(nu), exp(mu), r**2, r**2 * sin(theta)**2).tolist()
g = MetricTensor(Metric, [t, r, theta, phi])
g.tensor()
Out[5]:
$\displaystyle \left[\begin{matrix}- e^{\nu{\left(t,r \right)}} & 0 & 0 & 0\\0 & e^{\mu{\left(r \right)}} & 0 & 0\\0 & 0 & r^{2} & 0\\0 & 0 & 0 & r^{2} \sin^{2}{\left(\theta \right)}\end{matrix}\right]$
In [6]:
ein=EinsteinTensor.from_metric(g).change_config('ul')

$\displaystyle G^{0}_{\ \ 0}$

In [7]:
ein[0,0]
Out[7]:
$\displaystyle \frac{\left(- r \frac{d}{d r} \mu{\left(r \right)} – e^{\mu{\left(r \right)}} + 1\right) e^{- \mu{\left(r \right)}}}{r^{2}}$

$\displaystyle G^{1}_{\ \ 1}$

In [8]:
ein[1,1]
Out[8]:
$\displaystyle \frac{\left(r \frac{\partial}{\partial r} \nu{\left(t,r \right)} – e^{\mu{\left(r \right)}} + 1\right) e^{- \mu{\left(r \right)}}}{r^{2}}$

$\displaystyle G^{2}_{\ \ 2}$

In [9]:
ein[2,2]
Out[9]:
$\displaystyle \frac{\left(- r \frac{d}{d r} \mu{\left(r \right)} \frac{\partial}{\partial r} \nu{\left(t,r \right)} + r \left(\frac{\partial}{\partial r} \nu{\left(t,r \right)}\right)^{2} + 2 r \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} \nu{\left(t,r \right)} – 2 \frac{d}{d r} \mu{\left(r \right)} + 2 \frac{\partial}{\partial r} \nu{\left(t,r \right)}\right) e^{- \mu{\left(r \right)}}}{4 r}$

$\displaystyle G^{3}_{\ \ 3}$

In [10]:
ein[3,3]
Out[10]:
$\displaystyle \frac{\left(- r \frac{d}{d r} \mu{\left(r \right)} \frac{\partial}{\partial r} \nu{\left(t,r \right)} + r \left(\frac{\partial}{\partial r} \nu{\left(t,r \right)}\right)^{2} + 2 r \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} \nu{\left(t,r \right)} – 2 \frac{d}{d r} \mu{\left(r \right)} + 2 \frac{\partial}{\partial r} \nu{\left(t,r \right)}\right) e^{- \mu{\left(r \right)}}}{4 r}$

$\displaystyle G^{2}_{\ \ 2} = \displaystyle G^{3}_{\ \ 3}$ であることを確認。$\displaystyle G^{2}_{\ \ 2} – \displaystyle G^{3}_{\ \ 3}$ がゼロとなることを示す。

In [11]:
ein[2,2] - ein[3,3]
Out[11]:
$\displaystyle 0$

$\nu = – \mu$ とおけること

In [12]:
simplify(ein[1,1]-ein[0,0])
Out[12]:
$\displaystyle \frac{\left(\frac{d}{d r} \mu{\left(r \right)} + \frac{\partial}{\partial r} \nu{\left(t,r \right)}\right) e^{- \mu{\left(r \right)}}}{r}$

$G^1_{\ \ 1} – G^2_{\ \ 2} = 0$ より,以下の式が得られる。

$$\frac{\partial}{\partial r}\left(\mu(r) + \nu(t, r) \right) = 0$$

これから,

$$\nu(t, r) = – \mu(r) + f(t)$$

となる。

\begin{eqnarray}
\therefore\ \ e^{\nu(t, r)} dt^2 &=& e^{- \mu(r) + f(t)} dt^2 \\
&=& e^{- \mu(r)} \left( e^{\frac{f(t)}{2}} dt\right)^2
\end{eqnarray}

時間 $t$ のみの任意関数 $f(t)$ の自由度は,$e^{\frac{f(t)}{2}} dt \Rightarrow dt’$ なる新しい時間座標の定義によって吸収できるので,一般性を失うことなく $f(t) = 0$ すなわち

$$\nu(t, r) = – \mu(r)$$

とすることができる。

バーコフの定理

ここまでは,球対称真空解は metric が時間によらない,つまり静的であるということを示しているわけで,バーコフの定理の証明になっている。バーコフの定理のもう一つの帰結である漸近的平坦性については,以下で示すように解が $e^{-\mu(r)} = \displaystyle 1 – \frac{r_g}{r}$ となることで $r \rightarrow \infty$ で $e^{-\mu(r)} \rightarrow 1$ となることからわかる。

ということで,あらためて以下のような計量テンソルに対して,アインシュタイン・テンソルを計算してみる。

In [13]:
t, r, theta, phi = symbols('t, r, theta, phi')
mu = Function('mu')(r)

Metric = diag(-exp(-mu), exp(mu), r**2, r**2 * sin(theta)**2).tolist()
g = MetricTensor(Metric, [t, r, theta, phi])
g.tensor()
Out[13]:
$\displaystyle \left[\begin{matrix}- e^{- \mu{\left(r \right)}} & 0 & 0 & 0\\0 & e^{\mu{\left(r \right)}} & 0 & 0\\0 & 0 & r^{2} & 0\\0 & 0 & 0 & r^{2} \sin^{2}{\left(\theta \right)}\end{matrix}\right]$
In [14]:
ein=EinsteinTensor.from_metric(g).change_config('ul')
In [15]:
ein[0,0]
Out[15]:
$\displaystyle \frac{\left(- r \frac{d}{d r} \mu{\left(r \right)} – e^{\mu{\left(r \right)}} + 1\right) e^{- \mu{\left(r \right)}}}{r^{2}}$
In [16]:
eq = (ein[0,0] * r**2).expand()
eq 
Out[16]:
$\displaystyle – r e^{- \mu{\left(r \right)}} \frac{d}{d r} \mu{\left(r \right)} – 1 + e^{- \mu{\left(r \right)}}$

微分方程式を解き,$\mu(r)$ を求める

微分方程式 $\displaystyle – r \frac{d}{d r} \mu{\left(r \right)} – e^{\mu{\left(r \right)}} + 1 = 0$ を SymPy の dsolve() を使って解く。

In [17]:
sol = dsolve(eq, mu)
sol
Out[17]:
$\displaystyle – \mu{\left(r \right)} + \log{\left(r \right)} + \log{\left(e^{\mu{\left(r \right)}} – 1 \right)} = C_{1}$

もうちょっとのところなので,

$$e^{-\mu} \equiv f, \quad \mu = -\log f$$

とおいて解いてもらう。

In [18]:
f = Function('f')(r)
eq2 = sol.subs(mu, -log(f))
sol2 = solve(eq2, f)
In [19]:
sol2[0].expand()
Out[19]:
$\displaystyle 1 – \frac{e^{C_{1}}}{r}$

積分定数 $C_1$ はニュートン近似のときに,

\begin{eqnarray}
g_{00} &=& – e^{-\mu(r)} \\
&\simeq& – \left( 1 + 2 \frac{\phi}{c^2}\right) \\
&=& – \left( 1 – 2 \frac{GM}{r c^2}\right)
\end{eqnarray}

となることから,

$$e^{C_1} = \frac{2 GM}{c^2} \equiv r_g$$

となる。

最終的に

$$ds^2 = -\left(1 – \frac{r_g}{r} \right) dt^2 + \frac{dr^2}{1 – \frac{r_g}{r}} + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \,d\phi^2 \right)$$