このページとか，このページとかでは共形時間 (conformal time) \(\eta\) で表した FLRW 計量
$$ ds^2 = a^2(\eta) \Bigl\{-d\eta^2 + d\chi^2 + \sigma(\chi)^2 (d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2) \Bigr\} $$
を使ったが，通常の時間座標 (cosmic time) \(t\) で表した FLRW 計量
$$ ds^2 = -dt^2 + g_{ij} \,dx^i dx^j = -dt^2 + a^2(t) \left\{\frac{dr^2}{1- k r^2} + r^2 (d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right\}$$
を使っても膨張宇宙における宇宙論的赤方偏移が
\begin{eqnarray}
\omega &=& – k_{\mu} u^{\mu} \\
&=& – k_0\, u^0 = \frac{\omega_c}{a} \propto \frac{1}{a(t)}
\end{eqnarray}
のようになることを示す。（これは授業の練習問題。） Continue reading
