このページとか，このページとかでは共形時間 (conformal time) \(\eta\) で表した FLRW 計量
$$ ds^2 = a^2(\eta) \Bigl\{-d\eta^2 + d\chi^2 + \sigma(\chi)^2 (d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2) \Bigr\} $$
を使ったが，通常の時間座標 (cosmic time) \(t\) で表した FLRW 計量
$$ ds^2 = -dt^2 + g_{ij} \,dx^i dx^j = -dt^2 + a^2(t) \left\{\frac{dr^2}{1- k r^2} + r^2 (d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right\}$$
を使っても膨張宇宙における宇宙論的赤方偏移が
\begin{eqnarray}
\omega &=& – k_{\mu} u^{\mu} \\
&=& – k_0\, u^0 = \frac{\omega_c}{a} \propto \frac{1}{a(t)}
\end{eqnarray}
のようになることを示す。（これは授業の練習問題。）
まず，ヌル条件：
$$g_{\alpha\beta} \,k^{\alpha} k^{\beta} = – \left(k^0\right)^2 + g_{ij}\, k^i k^j = 0$$
また，測地線方程式
$$\frac{dk_{\mu}}{dv} = \frac{1}{2} g_{\alpha\beta, \mu}\, k^{\alpha} k^{\beta}$$
の \(\mu = 0\) 成分は
\begin{eqnarray}
\frac{dk_{0}}{dv} &=& \frac{1}{2} g_{ij, 0}\, k^i k^j \\
&=& \frac{\dot{a}}{a} g_{ij} \,k^i k^j \\
&=& \frac{\dot{a}}{a} \left(k^0\right)^2\\
&=& \frac{1}{a} \frac{da}{dt} \frac{dt}{dv} k^{{\color{red}{0}}} \\
&=& – \frac{1}{a} \frac{da}{dv} k_{{\color{blue}{0}}}
\quad \because k_{{\color{blue}{0}}} = g_{00} k^{{\color{red}{0}}} = -k^{{\color{red}{0}}}\\
\therefore\ \ \frac{d}{dv} \left( k_0\, a \right) &=& 0\\
\therefore\ \ k_0\, a &=& \mbox{const.} \equiv – \omega_c \\
\therefore\ \ k_0 &=& – \frac{\omega_c}{a}
\end{eqnarray}
（学生の回答をみると，右辺の $\frac{d}{dt}$ をアフィンパラメーター微分 $\frac{d}{dv}$ になおすところに気づかない子が多いようだ。）
共動観測者の4元速度 \(u^{\mu}\) は
$$u^{\mu} = (1, 0, 0, 0)$$であるから
\begin{eqnarray}
\omega &=& – k_{\mu} u^{\mu} \\
&=& – k_0\, u^0 = \frac{\omega_c}{a} \propto \frac{1}{a(t)}
\end{eqnarray}
したがって，時刻 $t$ に放出された光を時刻 $t_0$ に観測した時の赤方偏移 $z$ は以下の式：
$$1 + z = \frac{\omega(t)}{\omega(t_0)} = \frac{a(t_0)}{a(t)}= \frac{a_0}{a(t)}$$