Category: 理工系の数学

逆三角関数と逆双曲線関数の書き方読み方

逆三角関数は

$$\sin^{-1} x = \arcsin x, \quad \cos^{-1} x = \arccos x, \quad \tan^{-1}x = \arctan x$$

arc と書いて「アーク」と読むのに,逆双曲線関数は

$$\sinh^{-1} x = \mbox{arsinh}\  x, \quad \cosh^{-1} x = \mbox{arcosh}\  x, \quad \tanh^{-1}x = \mbox{artanh}\  x$$

のように,area の略の ar であり,arc と書くべきではないし,「アーク」と読むべきでもない理由について。「逆」関数だから「arc」をつける,というのではない。そもそも「arc」に「逆」の意味はない。

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Matplotlib で円と直角三角形で三角関数の定義の図を描く

三角関数の定義の図を Matplotlib だけで描く。以下のページなどで使うので。

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真近点離角と離心近点離角との関係についてもう少し

ケプラー運動の真近点離角 $\phi$ と離心近点離角 $u$ との関係については,Memo「ケプラー運動の時間平均を真近点離角の積分で求める」にまとめた。木下宙著「天体と軌道の力学」によれば,

\begin{eqnarray}
\tan \phi
&=& \frac{\sqrt{1-e^2} \sin u}{\cos u – e}
\end{eqnarray}

あるいは,半角表示で

\begin{eqnarray}
\tan \frac{\phi}{2} &=& \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{u}{2}
\end{eqnarray}

これをもう少し別の角度から見てみようという話。

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高さ h からの斜方投射の最大水平到達距離を陰関数定理を使って求める

高さ h からの斜方投射の最大到達距離を求める準備」のページを参照。

最大水平到達距離となる打ち出し角度 $\theta$ を,陰関数定理を使い,連立方程式の形にして SymPy や Maxima を使って求めてみる。 続きを読む

楕円の周長を一定にしたとき,面積が最大となるのは円であることの近似的証明

陰関数定理の練習問題として。 続きを読む

楕円の周の長さの近似式

テイラー展開による近似式およびパデ近似による近似式とラマヌジャンの近似式の紹介と評価。追記して,関孝和による近似式も。
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高さ h からの斜方投射の最大到達距離は角度45°のときではない

参考サイト

上記のページを参考に,地面から高さ \(h\) の地点から空気抵抗なしの斜方投射を行うと,水平方向の到達距離が最大となるのは打ち上げ角度(仰角)が \(45^{\circ}\) のときではなく,それより少し小さめになることをおさらいしておく。学生のコンピュータ演習用にと思ったが,けっこう手間取ったのでメモ。

なお,空気抵抗がある場合の斜方投射については,以下を参照。

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変分原理から求めるカテナリー曲線

全重力ポテンシャルエネルギー $\displaystyle U = \int_A^B \rho g y\, ds$ を最小にする曲線であることから,カテナリー方程式を導く。以下も参照:

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カテナリー曲線

一様重力場中に一様な質量線密度のロープを両端を固定して垂らしたときにできる曲線がカテナリー曲線懸垂曲線懸垂線とも。以下も参照:


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ベクトルのスカラー三重積と行列式

ベクトルのスカラー三重積は,3つのベクトルの成分を並べた $3\times 3$ 行列の行列式と等しいことを Maxima-Jupyter で確認。微小体積要素とヤコビアンの説明の前準備用に。

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