変分原理から求めるカテナリー曲線

全重力ポテンシャルエネルギー $\displaystyle U = \int_A^B \rho g y\, ds$ を最小にする曲線であることから,カテナリー方程式を導く。

カテナリー方程式

一様重力場中に一様な質量線密度のロープ(ワイヤー,電線等なんでもよい)を両端を固定して垂らしたときにできる曲線がカテナリー曲線であり,カテナリー曲線が満たす方程式

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = a \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2}$$

は公式には名前がついていないようだが,ここではカテナリー方程式と呼ぶことにしたのであった。

ロープ素片にはたらく力のつりあいからのカテナリー方程式の導出については,別ページに記載済み。ここでは,別解として変分原理による導出をまとめておく。

変分原理による導出

Wikipedia 英語版などでは,ロープの全長 $$L \equiv \int_A^B ds$$ が一定という拘束条件のもとで,全重力ポテンシャルエネルギー $$U \equiv \int_A^B \rho g y\, ds$$ を最小にすることからカテナリー曲線を導くとしているが,実際には拘束条件なしで $\delta U = 0$ という変分原理だけから導くことができる。

まず,長さ $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}$ のロープ素片の重力ポテンシャルエネルギー $dU$ は,重力加速度を $g$,ロープの質量線密度 $\rho$ を一定,水平方向を $x$,垂直方向を $y$,ロープ上の位置を $(x, y)$ として

$$dU = \rho g y \, ds = \rho g y \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right)^2}\, dx \equiv \rho g y \sqrt{1 + \left( y’\right)^2} \, dx$$

ロープの両端 $A, B$ を固定した場合の全重力ポテンシャルエネルギー $U$ は

$$U =\int_A^B dU = \rho g \int_A^B y \sqrt{1 + \left( y’\right)^2} \, dx$$

$\delta U = 0$ から,$f(y, y’) \equiv y \sqrt{1 + \left( y’\right)^2} $ に対するオイラー・ラグランジュ方程式は

$$\frac{\partial f}{\partial y} – \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y’}\right) = 0$$

このまま計算を続けていくと $y y^{”} = 1 + \left( y’\right)^2$ という方程式が出てくる。これでも解が $y = \frac{1}{a} \cosh(ax)$ の形であることが確かめられるが,オイラー・ラグランジュ方程式に $y’$ をかけてベルトラミの公式の形にしてみる。

\begin{eqnarray}
y’ \left\{ \frac{\partial f}{\partial y} – \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y’}\right) \right\} &=&
y’ \frac{\partial f}{\partial y} – \left\{\frac{d}{dx}\left(y’ \frac{\partial f}{\partial y’} \right) – \frac{d y’}{dx} \frac{\partial f}{\partial y’}\right\} \\
&=& \left(\frac{dy}{dx} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{d y’}{dx} \frac{\partial}{\partial y’} \right) f(y,y’) – \frac{d}{dx}\left(y’ \frac{\partial f}{\partial y’} \right) \\
&=& \frac{d}{dx} f(y,y’) – \frac{d}{dx}\left(y’ \frac{\partial f}{\partial y’} \right) \\
&=& \frac{d}{dx} \left( f – y’ \frac{\partial f}{\partial y’}\right) \\
&=& 0
\end{eqnarray}

つまり,

\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx} \left( f – y’ \frac{\partial f}{\partial y’}\right) &=& 0 \\
\therefore\ \ f – y’ \frac{\partial f}{\partial y’} &=& \mbox{const.} \equiv \frac{1}{a}
\end{eqnarray}

これがベルトラミの公式。定数を $\frac{1}{a}$ としたのは,単に我々がカテナリー方程式と呼んでいるものの形にあわせるため。あとは,$f(y,y’) = y \sqrt{1 + \left( y’\right)^2}$ を代入して計算していくと,

\begin{eqnarray}
y \sqrt{1 + \left(y’\right)^2} – y y’ \frac{y’}{\sqrt{1 + \left(y’\right)^2}} &=& \frac{1}{a} \\
\frac{y}{\sqrt{1 + \left(y’\right)^2}} &=& \frac{1}{a} \\
\therefore\ \ a^2 y^2 &=& 1 + \left(y’\right)^2
\end{eqnarray}

最後の式の両辺を $x$ でもう一度微分すると,

\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx} \left( 1 + \left(y’\right)^2\right) &=& \frac{d}{dx}\left( a^2 y^2 \right) \\
2 y’ y^{”} &=& 2 a^2 y y’ \\
\therefore \ \ y^{”}  &=& a^2 y \\
&=& a \sqrt{1 + \left(y’\right)^2} \\ \ \\
\therefore\ \ \frac{d^2 y}{dx^2} &=& a \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}
\end{eqnarray}

となり,無事カテナリー方程式が導かれた。あとは,別ページの解法に従えばカテナリー曲線が導かれる。