陰関数定理の練習問題として。
練習問題：長方形の周長を一定にしたとき，面積が最大となるのは正方形のときであること
縦横の長さがそれぞれ $a, b$ である長方形の周の長さ $L$ は
$$L = 2(a+b)$$
であり，面積 $S$ は
$$S = a b$$
周長 $L$ を一定に保ったまま $a, b$ を変化させると，面積 $S$ が最大となるのは $a = b = \frac{L}{4}$ の正方形のときであることを示す。
後々の応用を考えて，陰関数定理なんかを使って大掛かり的にやる。まず，$L = \mbox{const.} \equiv L_0$ であるので，$a, b$ はどちらも独立な変数というわけにはいかなくなり，$b$ は $a$ の関数 $b = b(a)$ となる。陰関数定理を使って，
\begin{eqnarray}
\frac{db}{da} &=& – \frac{\frac{\partial L}{\partial a}}{\frac{\partial L}{\partial b}} \\
&=& – \frac{2}{2} = -1
\end{eqnarray}
この条件のもとで，$S$ が極値（最大値）を持つのは，
\begin{eqnarray}
\frac{dS}{da} &=& \frac{\partial S}{\partial a} + \frac{\partial S}{\partial b} \frac{db}{da} \\
&=& b + a \cdot (-1) \\
&=& b – a = 0 \\
\therefore\ \ a &=& b = \frac{L}{4}
\end{eqnarray}
のとき，すなわち正方形のときである。このときが極大（最大）となることは
\begin{eqnarray}
\frac{d^2 S}{da^2} &=& \frac{\partial}{\partial a} \frac{dS}{da} + \frac{db}{da} \frac{\partial}{\partial b}\frac{dS}{da} \\
&=& -1 -1 < 0
\end{eqnarray}
と上に凸であることからわかる。
本題：楕円の周長を一定にしたとき，面積が最大となるのは？
上記の練習問題のように，楕円の場合もやっていけばよいが，楕円の周長は解析的に積分できないため，次善の策として，ラマヌジャンによる楕円周の近似式を使って，近似的に証明してみる。以下のページも参考に。
ラマヌジャンによる楕円の周長の近似式
長半径 $a$，短半径 $b$ の楕円の周長をあらわすラマヌジャンによる近似式は
\begin{eqnarray}
L &\equiv& \pi \left(3 (a+b) – \sqrt{(a+3b)(3a+b)} \right) \\
&=& \pi \left(3 (a+b) – \sqrt{3 a^2 + 10 ab + 3 b^2} \right)
\end{eqnarray}
であり，楕円の面積 $S$ は
$$S = \pi a b$$
楕円の周長 $L$ を一定に保ったまま $a, b$ を変化させると，面積 $S$ が最大となるのは $a = b$ の円のときであることを，ラマヌジャンによる周長の近似式を使って示す。
まず，$L = \mbox{const.} \equiv L_0$ であるので，$a, b$ はどちらも独立な変数というわけにはいかなくなり，$b$ は $a$ の関数 $b = b(a)$ となる。陰関数定理を使って，
\begin{eqnarray}
\frac{db}{da} &=& – \frac{\frac{\partial L}{\partial a}}{\frac{\partial L}{\partial b}} \\
&=& – \frac{3 – \frac{3 a + 5 b}{\sqrt{3 a^2 + 10 ab + 3 b^2} }}{3 – \frac{3 b + 5 a}{\sqrt{3 a^2 + 10 ab + 3 b^2} }}\\
&=& -\frac{3 \sqrt{3 a^2 + 10 ab + 3 b^2} – 3 a – 5 b}{3 \sqrt{3 a^2 + 10 ab + 3 b^2} – 3 b – 5 a}
\end{eqnarray}
この条件のもとで，$S$ が極値（最大値）を持つのは，
\begin{eqnarray}
\frac{dS}{da} &=& \frac{\partial S}{\partial a} + \frac{\partial S}{\partial b} \frac{db}{da} \\
&=& \pi b + \pi a \cdot\left(-\frac{3 \sqrt{3 a^2 + 10 ab + 3 b^2} – 3 a – 5 b}{3 \sqrt{3 a^2 + 10 ab + 3 b^2} – 3 b – 5 a} \right)\\
&=& 3 \pi (b – a) \frac{\sqrt{3 a^2 + 10 ab + 3 b^2} – b – a}{3 \sqrt{3 a^2 + 10 ab + 3 b^2} – 3 b – 5 a} \\
&=& 0 \\
\therefore\ \ a &=& b
\end{eqnarray}
のとき，すなわち円のときである。このときが極大（最大）であることは，$\displaystyle \frac{d^2 S}{da^2}$ を計算するのは面倒なので，$\displaystyle \frac{dS}{da}$ の符号が $(b-a)$ だけで決まることからわかる。（なぜかは各自考えてみて。）
面積 $S$ を $a$ の関数 $S(a)$ として，
- $a < b$ のとき，$\displaystyle \frac{dS}{da} \propto (b-a) > 0$，
- $a = b$ のとき，$\displaystyle \frac{dS}{da} \propto (b-a) = 0$，
- $a > b$ のとき，$\displaystyle \frac{dS}{da} \propto (b-a) < 0$，
となり，$a=b$ のときが極大（最大）となる。
関孝和による楕円の周長の近似式
同様なことは，関孝和による楕円周長の近似式
\begin{eqnarray}L_{\rm Seki} &=& 2 \sqrt{4 (a-b)^2 + \pi^2 a b}\end{eqnarray}
を使っても近似的に証明できるかもしれない。