宇宙年齢表式のおさらい
別ページで示したように，宇宙年齢 $t_0$（スケール因子が $a = 0$ から $a = a_0$ になるまでの時間）は以下のように $\tan^{-1} x$ や $\tanh^{-1} x$ を使って表されるのであった。
$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合
$$H_0 t_0 = -\frac{1}{\Omega_{\rm m} -1}+\frac{\Omega_{\rm m}}{(\Omega_{\rm m}-1)^{\frac{3}{2}} }
\tan^{-1}\sqrt{\Omega_{\rm m}-1} \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} > 1 \tag{1}$$
$$H_0 t_0 = \frac{1}{1-\Omega_{\rm m}}-\frac{\Omega_{\rm m}}{(1-\Omega_{\rm m})^{\frac{3}{2}} }
\tanh^{-1}\sqrt{1-\Omega_{\rm m}} \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} < 1 \tag{2}$$
特に，$\Omega_{\rm m} = 1$ すなわち $k = 0$ のときには
$$H_0 t_0 = \frac{2}{3} \quad\mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} = 1$$
\(k = 0\) すなわち \(\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} = 1\) の場合
$$H_0 t_0 = \frac{2}{3\sqrt{\Omega_{\rm m} -1}}\tan^{-1} \sqrt{\Omega_{\rm m} -1} \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} > 1 \tag{3}$$
$$H_0 t_0 = \frac{2}{3\sqrt{1-\Omega_{\rm m} }}\tanh^{-1} \sqrt{1-\Omega_{\rm m} } \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} < 1 \tag{4}$$
特に，$\Omega_{\rm m} = 1$ すなわち $\Omega_{\Lambda} = 0$ のときには
$$H_0 t_0 = \frac{2}{3} \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} = 1$$
スケール因子の解のおさらい
別ページで示したように，
$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合
$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合
スケール因子 $a(t)$ は共形時間 $\eta$ を媒介変数として以下のように書ける。
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0}
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)}
\left(1 -\cos\left(\sqrt{k} \eta\right)\right)
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
H_0 t &=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)^{\frac{3}{2}} }
\left(\sqrt{k} \eta -\sin\left(\sqrt{k} \eta\right)\right)
\end{eqnarray}
$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} < 1$ すなわち $k < 0$ の場合
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0}
&=&\frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m} )}
\left(\cosh\left(\sqrt{|k|} \eta\right) -1\right)
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
H_0 t &=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m})^{\frac{3}{2}} }
\left(\sinh\left(\sqrt{|k|} \eta\right) – \sqrt{|k|} \eta\right)
\end{eqnarray}
$k=0$ の場合
$k = 0, \ 1<\Omega_{\rm m} $ つまり $\Omega_{\Lambda} < 0$の場合
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0}
&=& \left\{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1}}
\sin\left(\frac{3\sqrt{\Omega_{\rm m}-1}}{2} H_0 t\right)\right\}^{\frac{2}{3}}
\end{eqnarray}
$k = 0, \ 0<\Omega_{\rm m} < 1$ つまり $\Omega_{\Lambda} > 0$ の場合
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} &=& \left\{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{1-\Omega_{\rm m}}}
\sinh\left(\frac{3\sqrt{1-\Omega_{\rm m}}}{2} H_0 t\right)\right\}^{\frac{2}{3}}
\end{eqnarray}
$H_0 t$ をスケール因子の関数として表す
$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合
$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0}
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)}
\left(1 -\cos\left(\sqrt{k} \eta\right)\right)
\end{eqnarray}
より
$$\cos\left(\sqrt{k} \eta\right) = 1 – \frac{2 (\Omega_{\rm m} -1)}{\Omega_{\rm m}}\frac{a}{a_0}$$
$$\sqrt{k} \eta = \cos^{-1} \left(1 – \frac{2 (\Omega_{\rm m} -1)}{\Omega_{\rm m}}\frac{a}{a_0} \right)$$
\begin{eqnarray}
\therefore\ \ H_0 t &=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)^{\frac{3}{2}} }
\left(\sqrt{k} \eta -\sin\left(\sqrt{k} \eta\right) \right) \\
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)^{\frac{3}{2}} }
\left(\cos^{-1} \left(1 – \frac{2 (\Omega_{\rm m} -1)}{\Omega_{\rm m}} \frac{a}{a_0} \right)
– \sqrt{1 – \left(1 – \frac{2 (\Omega_{\rm m} -1)}{\Omega_{\rm m}} \frac{a}{a_0} \right)^2} \right)
\end{eqnarray}
$a = a_0$ となる宇宙年齢 $t_0$ は
\begin{eqnarray}
\therefore\ \ H_0 t_0
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)^{\frac{3}{2}} }
\left(\cos^{-1} \left(1 – \frac{2 (\Omega_{\rm m} -1)}{\Omega_{\rm m}} \right)
– \sqrt{1 – \left(1 – \frac{2 (\Omega_{\rm m} -1)}{\Omega_{\rm m}}\right)^2} \right) \\
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)^{\frac{3}{2}} }
\cos^{-1} \left(\frac{2-\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}}\right) – \frac{1}{\Omega_{\rm m} -1}
\end{eqnarray}
したがって，$(1)$ 式と一致するためには
$$2 \tan^{-1} \sqrt{\Omega_{\rm m} -1} = \cos^{-1} \left(\frac{2-\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}}\right) $$
となる必要があるが，これは一般に以下の公式
$$2 \tan^{-1} x = \cos^{-1}\frac{1 – x^2}{1 + x^2}$$
を証明すればよい。
\begin{eqnarray}
\cos (2 \theta) &=& \cos^2 \theta – \sin^2 \theta \\
&=& \cos^2 \theta \left( 1 – \tan^2 \theta\right)\\
&=& \frac{1 – \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}\\
\therefore\ \ 2 \theta & = & \cos^{-1}\frac{1 – \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
あとは，$\theta = \tan^{-1} x$ とおけば
$$2 \tan^{-1} x = \cos^{-1}\frac{1 – x^2}{1 + x^2}$$
が示された。
ここで，$x = \sqrt{\Omega_{\rm m} -1}$ とおくと，
$$\frac{1 – x^2}{1 + x^2} = \frac{1 – (\Omega_{\rm m} -1)}{1 +(\Omega_{\rm m} -1)} = \frac{2-\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}}$$
$$\therefore\ \ \cos^{-1} \left(\frac{2-\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}}\right) = 2 \tan^{-1} \sqrt{\Omega_{\rm m} -1}$$
となり，宇宙年齢の表式が $(1)$ 式と書いてもよいことがわかった。
$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} < 1$ すなわち $k < 0$ の場合
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0}
&=&\frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m} )}
\left(\cosh\left(\sqrt{|k|} \eta\right) -1\right)
\end{eqnarray}
より
$$\cosh\left(\sqrt{|k|} \eta\right) = 1 + \frac{2 (1-\Omega_{\rm m})}{\Omega_{\rm m}}\frac{a}{a_0} $$
$$\sqrt{|k|} \eta= \cosh^{-1} \left(1 + \frac{2 (1-\Omega_{\rm m})}{\Omega_{\rm m}}\frac{a}{a_0} \right)$$
\begin{eqnarray}
\therefore\ \ H_0 t &=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m})^{\frac{3}{2}} }
\left(\sinh\left(\sqrt{|k|} \eta\right) -\sqrt{|k|} \eta\right) \\
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m})^{\frac{3}{2}} }
\left(\sqrt{\left(1 + \frac{2 (1-\Omega_{\rm m})}{\Omega_{\rm m}}\frac{a}{a_0} \right)^2 – 1}
– \cosh^{-1} \left(1 + \frac{2 (1-\Omega_{\rm m})}{\Omega_{\rm m}}\frac{a}{a_0}\right) \right)
\end{eqnarray}
$a = a_0$ となる宇宙年齢 $t_0$ は
\begin{eqnarray}
H_0 t_0
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m})^{\frac{3}{2}} }
\left(\sqrt{\left(1 + \frac{2 (1-\Omega_{\rm m})}{\Omega_{\rm m}}\right)^2 – 1}
– \cosh^{-1} \left(1 + \frac{2 (1-\Omega_{\rm m})}{\Omega_{\rm m}}\right) \right)\\
&=& \frac{1}{1 -\Omega_{\rm m} } – \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m} )^{\frac{3}{2}} }
\cosh^{-1} \left(\frac{2-\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}}\right)
\end{eqnarray}
したがって，$(2)$ 式と一致するためには
$$2 \tanh^{-1} \sqrt{1-\Omega_{\rm m} } = \cosh^{-1} \left(\frac{2-\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}}\right)$$
となる必要があるが，これは一般に以下の公式
$$2 \tanh^{-1} x = \cosh^{-1}\frac{1 + x^2}{1 – x^2}$$
を証明すればよい。直接計算しても容易だが，ここでは上で示した
\begin{eqnarray}
\cos (2 \theta)
&=& \frac{1 – \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
で，$\theta \rightarrow i y$ と置き換えて $\cos (2 i y) = \cosh 2 y, \tan (i y) = i \tanh y$ を使うと
\begin{eqnarray}
\cosh (2 y)
&=& \frac{1 + \tanh^2 y}{1 – \tanh^2 y} \\
\therefore\ \ 2 y &=& \cosh^{-1} \frac{1 + \tanh^2 y}{1 – \tanh^2 y}
\end{eqnarray}
あとは $y = \tanh^{-1} x$ とおけば$$2 \tanh^{-1} x = \cosh^{-1}\frac{1 + x^2}{1 – x^2}$$
が示された。ここで $x = \sqrt{1-\Omega_{\rm m}}$ とおけば，
$$\frac{1 + x^2}{1 – x^2} = \frac{1 + (1-\Omega_{\rm m})}{1 – (1-\Omega_{\rm m})} = \frac{2 – \Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}}$$
$$\therefore\ \ \cosh^{-1} \left(\frac{2-\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}}\right) = 2 \tanh^{-1} \sqrt{1-\Omega_{\rm m} }$$
となり，宇宙年齢の表式が $(2)$ 式と書いてもよいことがわかった。
$k=0$ の場合
$k = 0, \ 1<\Omega_{\rm m} $ つまり $\Omega_{\Lambda} < 0$の場合
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0}
&=& \left\{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1}}
\sin\left(\frac{3\sqrt{\Omega_{\rm m}-1}}{2} H_0 t\right)\right\}^{\frac{2}{3}}
\end{eqnarray}
より
$$H_0 t = \frac{2}{3\sqrt{\Omega_{\rm m}-1}} \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}-1}{\Omega_{\rm m}}} \left(\frac{a}{a_0}\right)^{\frac{3}{2}}\right)$$
$a = a_0$ となる宇宙年齢 $t_0$ は
$$H_0 t_0 = \frac{2}{3\sqrt{\Omega_{\rm m}-1}} \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}-1}{\Omega_{\rm m}}}\right)$$
したがって，$(3)$ 式と一致するためには
$$ \tan^{-1} \sqrt{\Omega_{\rm m} -1} = \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}-1}{\Omega_{\rm m}}}\right)$$
となる必要があるが，これは一般に以下の公式
$$\tan^{-1} x = \sin^{-1}\frac{ x}{\sqrt{1 + x^2}}$$
を証明すればよい。
\begin{eqnarray}
\sin\theta &=& \tan\theta\, \cos\theta = \frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} \\
\therefore\ \ \theta &=& \sin^{-1} \frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}
\end{eqnarray}
$\theta = \tan^{-1} x$ とおけば
\begin{eqnarray}
\tan^{-1} x &=& \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}
\end{eqnarray}
が示された。ここで $x = \sqrt{\Omega_{\rm m}-1}$ とおけば，
$$\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\sqrt{\Omega_{\rm m}-1}}{\sqrt{\Omega_{\rm m}}}$$となり，宇宙年齢の表式が $(3)$ 式と書いてもよいことがわかった。
$k = 0, \ 0<\Omega_{\rm m} < 1$ つまり $\Omega_{\Lambda} > 0$ の場合
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} &=& \left\{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{1-\Omega_{\rm m}}}
\sinh\left(\frac{3\sqrt{1-\Omega_{\rm m}}}{2} H_0 t\right)\right\}^{\frac{2}{3}}
\end{eqnarray}
より
$$H_0 t = \frac{2}{3\sqrt{1-\Omega_{\rm m}}}
\sinh^{-1} \left( \sqrt{\frac{1-\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}}} \left(\frac{a}{a_0}\right)^{\frac{3}{2}}\right)$$
$a = a_0$ となる宇宙年齢 $t_0$ は
$$H_0 t_0 = \frac{2}{3\sqrt{1-\Omega_{\rm m}}}
\sinh^{-1} \left( \sqrt{\frac{1-\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}}} \right)$$
したがって，$(4)$ 式と一致するためには
$$ \tanh^{-1} \sqrt{1-\Omega_{\rm m} } = \sinh^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}}}\right)$$
となる必要があるが，これは一般に以下の公式
$$\tanh^{-1} x = \sinh^{-1}\frac{ x}{\sqrt{1 – x^2}}$$
を証明すればよい。直接計算してもよいが，$\theta \rightarrow i y$ と置き換えると
\begin{eqnarray}
\sin\theta &=& \frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} \\
\sin(i y) &=& \frac{\tan(i y)}{\sqrt{1 + \tan^2(i y)}} \\
i \sinh(y) &=& \frac{i \tanh(y)}{\sqrt{1 – \tanh^2(y)}} \\
\sinh(y) &=& \frac{\tanh(y)}{\sqrt{1 – \tanh^2(y)}} \\
\therefore\ \ y &=& \sinh^{-1} \frac{\tanh(y)}{\sqrt{1 – \tanh^2(y)}}
\end{eqnarray}
$y = \tanh^{-1} x$ とおけば$$\tanh^{-1} x = \sinh^{-1}\frac{ x}{\sqrt{1 – x^2}}$$
が示された。ここで $x = \sqrt{1-\Omega_{\rm m}}$ とおけば
$$\frac{ x}{\sqrt{1 – x^2}} = \frac{\sqrt{1-\Omega_{\rm m}}}{\sqrt{\Omega_{\rm m}}}$$となり，宇宙年齢の表式が $(4)$ 式と書いてもよいことがわかった。