膨張宇宙におけるヌル測地線である光線の束，つまり光線束（ray bundle）の伝播から定義される角径距離 angular diameter distance について。
FRLW 時空における光の伝播のおさらい
いくつかのページに散乱している結果を，ここにおさらいしておく。
\begin{eqnarray}
ds^2
&=& a^2(\eta) \left\{-d\eta^2 + d\chi^2 + \sigma^2(\chi)\left(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2 \right) \right\}\\
\sigma(\chi) &\equiv& \frac{\sin(\sqrt{k} \chi)}{\sqrt{k}}\\
k&=& H_0^2 a_0^2 \left(\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} -1 \right)\\
1 + z &=& \frac{a_0}{a(\eta)}
\end{eqnarray}
動径方向に伝播する光の経路を赤方偏移 $z$ で表す式は，
$$ \chi = \eta_0 -\eta = \frac{1}{H_0 a_0} \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{\Omega_{\Lambda} +\left(1 -\Omega_{\rm m} -\Omega_{\Lambda}\right)(1+z)^2 + \Omega_{\rm m} (1+z)^3}}$$
角径距離の定義
動径方向に垂直な2次元面の時刻 $\eta\ (<\eta_0)$ における面積 $dS$ を，現在 $\eta = \eta_0$ に共動観測者が見込む立体角を $d\Omega$ とすると
$$dS \equiv d^2_A \,d\Omega$$
で定義される距離 $d_A$ が角径距離と呼ばれる距離である。
（角径距離の定義として，1次元的長さ $\ell$ を見込む角度を $\delta\theta$ としたときに，$\ell \equiv d_A \delta\theta$ で定義される距離 $d_A$ というのを採用しているテキストも散見される。一様等方宇宙モデルでは，この2つの定義は同等である。FLRW 時空しか考えないのであれば簡単な方を使えばよいが，ここではより一般的と私が考えるほうの，面積を見込む立体角からの定義を採用することにする。後で定義する光度距離 $d_L$ に対して任意の時空で reciprocity theorem $d_L = (1+z)^2 d_A$ が成り立つのも，面積を見込む立体角から定義した $d_A$ である。なので，角径距離 angular diameter distance と区別して面積距離 area distance とでも呼んだほうがいいかもしれない。）
角径距離の観測
実際に観測する量は，天体の見かけの大きさを表す立体角（あるいは1次元的長さを見込む角）であるから，遠方の天体の実際の大きさ（standard scale, 標準ものさし）がわかっていること，また観測装置の分解能をもってして，その大きさ・形が観測でわかる程度の大きさであることが必要である（実際の大きさがが小さいと，点としか観測されない，これではテンでダメ）。
角径距離を赤方偏移と宇宙論パラメータの関数として表す
上で再掲した FLRW 計量では，動径方向つまり $\chi$ 方向に垂直な2次元面の面積要素 $dS$ は
\begin{eqnarray}
dS &\equiv& \sqrt{{}^{(2)}\! g}\, d\theta d\phi\\
&=& \sqrt{\det \begin{pmatrix}
g_{\theta\theta} & 0\\
0 & g_{\phi\phi}
\end{pmatrix}}\, d\theta d\phi\\
&=& a^2(\eta) \sigma^2(\chi) \sin\theta\, d\theta d\phi\\
&=& a^2(\eta) \sigma^2(\chi)\,d\Omega \\ \ \\
\therefore\ \ d_A &\equiv& a(\eta) \sigma(\chi)
\end{eqnarray}
以上が FLRW の場合の $d_A$ をもっとも手っ取り早く求める方法。答えがわかればよいのであれば，これでよし。以下は，より持って回った方法（より一般的な時空でも成り立つ方法）で求めるやりかた。
上で求めた結果である $d_A = a(\eta) \sigma(\chi)$ は，以下のような $d_A$ に対する微分方程式からも求めることができる。（FLRW 以外ではこの微分方程式と expansion $\theta$ のトランスポート方程式から求めることになる。）
まず，別ページで光線束の微小面積 $dS$ に対して以下のような式が成り立つことを示している。
$$\frac{d}{dv} dS= k^{\mu}_{\ \ ;\mu} S = 2 \theta \, dS$$
これと，$d_A$ の定義式 $dS \equiv d^2_A \,d\Omega$ から
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dv} dS &=& \frac{d}{dv} \left(d^2_A \right) \,d\Omega \\
&=& 2 d_A \frac{d}{dv}\left( d_A \right) \,d\Omega \\
&=& 2 \theta \, d^2_A \,d\Omega \\ \ \\
\therefore\ \ \frac{d}{dv}\left( d_A \right) &=& \theta\, d_A
\end{eqnarray}
これが $d_A$ に対する微分方程式である。FLRW の場合には expansion $\theta$ は別ページで以下のように求めれられている。
$$\theta = \frac{1}{2} k^{\mu}_{\ \ ;\mu} = \frac{1}{a\sigma} \frac{d}{dv} \left( a \sigma\right)$$
したがって，FLRW では $d_A$ は
$$\frac{1}{d_A} \frac{d}{dv}\left( d_A \right) = \frac{1}{a\sigma} \frac{d}{dv} \left( a \sigma\right)$$
より，積分定数 $K$ を使って
$$d_A(v) = K \, a(\eta(v))\,\sigma(\chi(v))$$
となる。積分定数 $K$ は，後の結果を使って
$$ d_A \simeq \frac{1}{H_0} z\quad\mbox{for}\ \ |z| \ll 1$$
となるように $K=1$ と選んでおこう。アフィンパラメータ $v$ と座標 $\eta, \, \chi$ の関係は，
$v = 0$ が現在（$z = 0$）で $\eta(0) = \eta_0, \ \chi(0) = 0$，
$v = v$ が過去（赤方偏移 $z$）で $\eta(v) = \eta, \ \chi(v) = \chi$
となるようにとっているので，
$$d_A = a(\eta) \sigma(\chi)$$
となる。
次に，$k > 0$ の場合に $d_A$ を赤方偏移 $z$ と宇宙論パラメータを使って表す。まず，
\begin{eqnarray}
d_A &=& a(\eta) \sigma(\chi) \\
&=& \frac{ a(\eta)}{a_0} \frac{a_0}{\sqrt{k}} \sin\left(\sqrt{k} \chi\right)\\
&=& \frac{1}{H_0 (1 + z) \sqrt{\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} -1}}\sin\left(\sqrt{k} \chi\right)
\end{eqnarray}
$\sin\left(\sqrt{k} \chi\right)$ の中身の $\sqrt{k} \chi$ は，
\begin{eqnarray}
\sqrt{k} \chi &=& \sqrt{\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} -1} \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{\Omega_{\Lambda} +\left(1 -\Omega_{\rm m} -\Omega_{\Lambda}\right)(1+z)^2 + \Omega_{\rm m} (1+z)^3}}
\end{eqnarray}
$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合の角径距離
$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合は，
\begin{eqnarray}
\sqrt{k} \chi &=& \sqrt{\Omega_{\rm m} -1}
\int_0^z \frac{dz}{\sqrt{ \Omega_{\rm m} (1+z)^3-\left(\Omega_{\rm m} -1\right)(1+z)^2 }}\\
&=& \int_0^z \frac{dz}{(1+z) \sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1}(1+z)-1}}
\end{eqnarray}
これは以下のように変数 \(y\) を定義すると置換積分できる。
\begin{eqnarray}
y &\equiv& \sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1}(1+z)-1}
= \sqrt{\frac{1+\Omega_{\rm m}z}{\Omega_{\rm m}-1}}\\
1+y^2 &=& \frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1} (1+z) \\
\therefore\ \ (1+z) &=& \frac{\Omega_{\rm m}-1}{\Omega_{\rm m}} (1+y^2) \\
dz &=& \frac{\Omega_{\rm m}-1}{\Omega_{\rm m}} \cdot 2 y dy
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\sqrt{k} \chi
&=& \int_0^z \frac{dz}{(1+z) \sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1}(1+z)-1}} \\
&=& \int_{y_0}^{y_z} \frac{2 y dy}{(1+y^2) y} \\
&=& \int_{y_0}^{y_z} \frac{2 dy}{(1+y^2)} \\
&=& \Bigl[ 2 \tan^{-1} y\Bigr]_{y_0}^{y_z} \\
&=& 2 \tan^{-1} (y_z)
-2 \tan^{-1} (y_0) \\
&=& 2 \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1 + \Omega_{\rm m} z}}{\sqrt{\Omega_{\rm m} -1}} \right)
-2 \tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{\Omega_{\rm m} -1}} \right)
\end{eqnarray}
中身の $\sqrt{k} \chi$ がわかれば $\sin\left(\sqrt{k} \chi\right)$ は
\begin{eqnarray}
\sin\left(\sqrt{k} \chi\right)&=& \sin\bigl(2 \tan^{-1} (y_z)
-2 \tan^{-1} (y_0) \bigr) \\
&=& \sin\left( 2 \tan^{-1} (y_z)\right) \cos\left(2 \tan^{-1} (y_0) \right) \\
&&-\cos\left( 2 \tan^{-1} (y_z)\right) \sin\left(2 \tan^{-1} (y_0) \right)
\end{eqnarray}
となって，以下の公式（1年生のときに教えたことになっている）
\begin{eqnarray}
2 \tan^{-1} y &=& \cos^{-1} \left(\frac{1 -y^2}{1 + y^2} \right)\\
&=& \sin^{-1} \left(\frac{ 2y}{1 + y^2} \right)
\end{eqnarray}
を使うと，
\begin{eqnarray}
\sin\left(\sqrt{k} \chi\right)&=& \frac{2\sqrt{\Omega_{\rm m}-1}\sqrt{1 + \Omega_{\rm m} z}}{\Omega_{\rm m} (1+z)} \frac{\Omega_{\rm m}-2}{\Omega_{\rm m}} \\
&&-\frac{\Omega_{\rm m}-2 -\Omega_{\rm m} z}{\Omega_{\rm m} (1+z)} \frac{2\sqrt{\Omega_{\rm m} -1}}{\Omega_{\rm m}}\\
&=& \frac{2\sqrt{\Omega_{\rm m} -1}}{\Omega_{\rm m}^2 (1+z)}
\left\{2 -\Omega_{\rm m} + \Omega_{\rm m} z -(2-\Omega_{\rm m}) \sqrt{1 + \Omega_{\rm m} z}\right\}
\end{eqnarray}
最終的に角径距離 $d_A$ は
\begin{eqnarray}
d_A &=& \frac{1}{H_0 (1 + z) \sqrt{\Omega_{\rm m} -1}}\sin\left(\sqrt{k} \chi\right) \\
&=& \frac{2}{H_0 \Omega_{\rm m}^2 (1+z)^2} \left\{2 -\Omega_{\rm m} + \Omega_{\rm m} z -(2-\Omega_{\rm m}) \sqrt{1 + \Omega_{\rm m} z}\right\}
\end{eqnarray}
となる。$\Omega_{\Lambda}=0, \Omega_{\rm m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合に導いたこの式は，$\Omega_{\Lambda}=0$ であれば，$0 < \Omega_{\rm m} \leq 1$ すなわち $k \leq 0$ の場合でもそのまま成り立つ式になっている。このことは \(d_A\) の定義にある
$$\sigma(\chi) = \frac{\sin\left(\sqrt{k} \chi\right)}{\sqrt{k}}$$
が $k \leq 0$ のときにもそのまま使えることからきている。
$z \ll 1$ の場合の近似式
$z \ll 1$ の場合には以下のように近似できる。
\begin{eqnarray}
d_A
&=& \frac{2}{H_0 \Omega_{\rm m}^2 (1+z)^2} \left\{2 -\Omega_{\rm m} + \Omega_{\rm m} z -(2-\Omega_{\rm m}) \sqrt{1 + \Omega_{\rm m} z}\right\} \\
&\simeq& \frac{2}{H_0 \Omega_{\rm m}^2} \left\{2 -\Omega_{\rm m} + \Omega_{\rm m} z -(2-\Omega_{\rm m}) \left(1 + \frac{1}{2}\Omega_{\rm m} z\right)\right\} \\
&=& \frac{2}{H_0 \Omega_{\rm m}^2} \left\{ \frac{1}{2}\Omega_{\rm m}^2 z\right\}\\
&=& \frac{z}{H_0}
\end{eqnarray}
そういえば，もともとこうなるように積分定数 $K$ を決めていたのであった。光速 $c$ をあからさまに書くと
$$d_A = \frac{c z}{H_0}, \quad\therefore\ \ cz = H_0\, d_A$$
となり，ハッブル・ルメートルの法則と見比べれば，後退速度 $v$ と赤方偏移 $z$ の関係は
$$ v = cz$$
$\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} = 1$ の場合の角径距離
$\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} = 1$ つまり $k = 0$ の場合の角径距離は $\sigma(\chi) = \chi$ であるから
\begin{eqnarray}
d_A &=&a(\eta) \sigma(\chi) \\ &=& a(\eta) \chi \\
&=& \frac{1}{1+z} a_0 \chi \\
&=& \frac{1}{H_0 (1+z)} \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-\Omega_{\rm m}) + \Omega_{\rm m} (1+z)^3} }
\end{eqnarray}
$z \ll 1$ の場合の近似式
$z \ll 1$ の場合にはやはり
$$d_A \simeq \frac{c z}{H_0}$$
となることを簡単に示すことができます。ヒント：
$$\int_0^z f(x) \,dx \simeq f(0) \,z \qquad \mbox{for}\ \, z\ll 1$$
角径距離に関する参考文献
20世紀の昔の若かりし頃にやった Fukugita, Futamase, Kasai, and Turner (1992) の以下のページあたりにもう少し一般化した角径距離の式が載っている。懐かしくなったので。
- Fukugita, Futamase, Kasai, and Turner (1992), page. 6
- Fukugita, Futamase, Kasai, and Turner (1992), page. 7
角径距離のグラフ例
Maxima-Jupyter による計算例
\sqrt{k} \chi &=& \sqrt{\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} -1} \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{\Omega_{\Lambda} +\left(1 -\Omega_{\rm m} -\Omega_{\Lambda}\right)(1+z)^2 + \Omega_{\rm m} (1+z)^3}}
\end{eqnarray}Mamxima の表示の都合で，$\Omega_{\rm m} \rightarrow \Omega, \ \Omega_{\Lambda}\rightarrow \Omega_1$ に
被積分関数を $f(z, \Omega, \Omega_1)$ として定義。
f(z, Omega, Omega1):=
1/sqrt(Omega1 + (1 - Omega - Omega1)*(1+z)**2 + Omega*(1+z)**3);
$\sqrt{k} \chi$ を関数 kchi(Omega, Omega1) として定義。
kchi(Omega, Omega1):=
sqrt(Omega + Omega1 - 1)*integrate(f(z1, Omega, Omega1), z1, 0, z);
$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合
forget(facts())$
assume(Omega > 1)$
assume(z > 0)$
kchi(Omega, 0), ratsimp;
雑感
… というわけで，Maxima で計算すれば終わり，というよりも，Maxima が出した答えが出発点であり，これから宇宙論的距離の見慣れた形に整頓していくのは（今のところ）人の手作業である。有償の Mathematica とか Maple とかだと，もっと簡単な形に自動的にしてくれるのかしら。
また，この手の積分，たとえば宇宙年齢とか宇宙論的距離とかの計算結果に，妙に $\tan^{-1} \mbox{何ちゃら}$ というのがよく現れるなぁ… と思いませんか？