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Return to 膨張宇宙の計量の導出とフリードマン方程式

補足:アインシュタイン方程式の 3+1 定式化

4次元時空の計量の 3+1 分解

簡単のために g0i=0 の場合を考え,線素を

ds2=N2dt2+gijdxidxj

と書き,本来は4次元時空の計量テンソル gμνij 成分である gij3次元空間の計量テンソルとみなす。また,

Kij12Ng˙ij,K  ji=gikKkj=12Ngikg˙kj

と定義する。g˙t

(3)Γ   jki, (3)R  jigij で表される3次元空間のクリストッフェル記号とリッチテンソルを表す。

また, |i は3次元空間の共変微分を表す。

クリストッフェル記号

Γ  μνλ=12gλσ(gσμ,ν+gσν,μgμν,σ)

Γ   000=1NN˙Γ   0i0=1NN|iΓ   ij0=1NKijΓ   00i=NN|iΓ   0ji=NK  jiΓ   jki=(3)Γ   jki

リッチテンソル・リッチスカラー

Rμρ=R  μνρν=Γ  μρ,ννΓ  μν,ρν+Γ  λννΓ  μρλΓ  λρνΓ  μνλ.

R00=NN  |i|iNK˙  iiN2K  jiK  ijR0i=N(K  i|jjK  j|ij)Rij=1NK˙ij2KikK  jk1NN|ij+K  kkKij+(3)Rij

R=2NK˙  ii+K  jiK  ij2NN  |i|i+(3)R  ii

アインシュタイン方程式

G00=N22((K  ii)2K  jiK  ij+(3)R  ii)=8πGT00

G0i=N(K  i|jjK  j|ij)=8πGT0i

ij 成分については,trace-reversed なアインシュタイン方程式の ij 成分 をとることにして

R  ji=1NK˙  ji+K  kkK  ji1NN  |j|i+(3)R  ji=8πG(T  ji12δ  jiT  μμ)

こうやって書いてみると,00 成分と 0i 成分は K  ji すなわち計量テンソルの時間に関する1階微分までしか含まないので,何かしらの拘束条件となっているのに対して,ij 成分は K  ji の時間微分すなわち計量テンソルの時間に関する2階微分を含むので,なんとなく運動方程式というか,発展方程式というかそんな時間発展を記述する方程式になっていることがよくわかります。

trace-reversed なアインシュタイン方程式とは

Rμν12gμνR=8πGTμν

両辺をgμν で縮約すると
R2R=8πGT  μμ,  R=8πGT  μμ

  Rμν=8πGTμν+12gμνR=8πGTμν+12gμν(8πGT  λλ)=8πG(Tμν12gμνT  λλ)

左辺にあった R  νμ のトレースである R=R  μμ が右辺の T  νμ のトレースである T  μμ  となったので「トレース反転」なのかなぁ。それとも,R  νμ のトレースとT  νμ のトレースとは負号が反転しているので「トレース反転」なのかなぁ。