4次元時空の計量の $3+1$ 分解
簡単のために $g_{0i} = 0$ の場合を考え，線素を
$$ds^2 = – N^2 dt^2 + g_{ij} dx^i dx^j$$
と書き，本来は4次元時空の計量テンソル $g_{\mu\nu}$ の $ij$ 成分である $g_{ij}$ を3次元空間の計量テンソルとみなす。また，
$$K_{ij} \equiv \frac{1}{2N} \dot{g}_{ij}, \quad K^i_{\ \ j} = g^{ik} K_{kj} = \frac{1}{2N} g^{ik} \dot{g}_{kj}$$
と定義する。$\displaystyle \dot{{\color{white}{g}}} \equiv \frac{\partial}{\partial t}$
${}^{(3)}\!\varGamma^i_{\ \ \ j k}, \ {}^{(3)}\!R^i_{\ \ j}$ は $g_{ij}$ で表される3次元空間のクリストッフェル記号とリッチテンソルを表す。
また，${\ }_{|i}$ は3次元空間の共変微分を表す。
クリストッフェル記号
\begin{equation}\label{eq:chr2}
\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma}
\left(g_{\sigma\mu,\nu} + g_{\sigma\nu,\mu} – g_{\mu\nu,\sigma}
\right)
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\varGamma^0_{\ \ \ 00} &=& \frac{1}{N} \dot{N}\\
\varGamma^0_{\ \ \ 0i} &=& \frac{1}{N} N_{|i}\\
\varGamma^0_{\ \ \ ij} &=& \frac{1}{N} K_{ij}\\
\varGamma^i_{\ \ \ 00} &=& N N^{|i}\\
\varGamma^i_{\ \ \ 0j} &=& N K^i_{\ \ j}\\
\varGamma^i_{\ \ \ jk} &=& {}^{(3)}\!\varGamma^i_{\ \ \ jk}
\end{eqnarray}
リッチテンソル・リッチスカラー
\begin{eqnarray}
R_{\mu\rho} = R^{\nu}_{\ \ \mu\nu\rho} &=& \varGamma^{\nu}_{\ \ \mu\rho,\nu} –
\varGamma^{\nu}_{\ \ \mu\nu,\rho} \nonumber + \varGamma^{\nu}_{\ \ \lambda\nu}\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\rho}
– \varGamma^{\nu}_{\ \ \lambda\rho}\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu}.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
R_{00} &=& N N^{|i}_{\ \ |i} – N \dot{K}^i_{\ \ i} – N^2 K^i_{\ \ j} K^j_{\ \ i} \\
R_{0i} &=& N \left(K^j_{\ \ i|j} – K^j_{\ \ j|i} \right)\\
R_{ij} &=& \frac{1}{N} \dot{K}_{ij} – 2 K_{ik} K^k_{\ \ j} – \frac{1}{N} N_{|i j}+ K^k_{\ \ k} K_{ij} + {}^{(3)}\!R_{ij}\\
\end{eqnarray}
$$R = \frac{2}{N} \dot{K}^i_{\ \ i} + K^i_{\ \ j} K^j_{\ \ i} – \frac{2}{N} N^{|i}_{\ \ |i} + {}^{(3)}\!R^i_{\ \ i}$$
アインシュタイン方程式
$$G_{00} = \frac{N^2}{2} \left( \left(K^i_{\ \ i} \right)^2 – K^i_{\ \ j} K^j_{\ \ i} + {}^{(3)}\!R^i_{\ \ i}\right) = 8\pi G T_{00}$$
$$G_{0i} = N \left(K^j_{\ \ i|j} – K^j_{\ \ j|i} \right) = 8\pi G T_{0i}$$
$ij$ 成分については，trace-reversed なアインシュタイン方程式の \(ij\) 成分 をとることにして
$$R^i_{\ \ j} = \frac{1}{N} \dot{K}^i_{\ \ j} + K^k_{\ \ k} K^i_{\ \ j} – \frac{1}{N} N^{|i}_{\ \ |j} + {}^{(3)}\!R^i_{\ \ j} = 8\pi G\left(T^i_{\ \ j} – \frac{1}{2} \delta^i_{\ \ j} T^{\mu}_{\ \ \mu}\right)$$
こうやって書いてみると，$00$ 成分と $0i$ 成分は $K^i_{\ \ j}$ すなわち計量テンソルの時間に関する1階微分までしか含まないので，何かしらの拘束条件となっているのに対して，$ij$ 成分は $K^i_{\ \ j}$ の時間微分すなわち計量テンソルの時間に関する2階微分を含むので，なんとなく運動方程式というか，発展方程式というかそんな時間発展を記述する方程式になっていることがよくわかります。
trace-reversed なアインシュタイン方程式とは
$$R_{\mu\nu} – \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = 8\pi G T_{\mu\nu}$$
両辺を$g^{\mu\nu}$ で縮約すると
$$R – 2 R = 8 \pi G T^{\mu}_{\ \ \mu}, \quad\therefore\ \ R = – 8 \pi G T^{\mu}_{\ \ \mu}$$
\begin{eqnarray}
\therefore\ \ R_{\mu\nu} &=& 8\pi G T_{\mu\nu} + \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R \\
&=& 8\pi G T_{\mu\nu} + \frac{1}{2} g_{\mu\nu} \left(- 8 \pi G T^{\lambda}_{\ \ \lambda} \right) \\
&=& 8\pi G\left( T_{\mu\nu} – \frac{1}{2} g_{\mu\nu} T^{\lambda}_{\ \ \lambda}\right)
\end{eqnarray}
左辺にあった $R^{\mu}_{\ \ \nu}$ のトレースである $R = R^{\mu}_{\ \ \mu}$ が右辺の $T^{\mu}_{\ \ \nu}$ のトレースである $T^{\mu}_{\ \ \mu}$ となったので「トレース反転」なのかなぁ。それとも，$R^{\mu}_{\ \ \nu}$ のトレースと$T^{\mu}_{\ \ \nu}$ のトレースとは負号が反転しているので「トレース反転」なのかなぁ。