曲がった時空における幾何光学近似

角径距離や光度距離の定義に必要な，曲がった時空における幾何光学近似についておさらしておく。

電磁場のエネルギー運動量テンソル

電磁場のエネルギー運動量テンソルは，SI 単位系では以下のように書ける。（$c=1$）

$$T_{\mu \nu }={\epsilon }_0\left\{F_{\mu \alpha }{F}_{\nu }^{\alpha }–\frac{1}{4}{g}_{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }\right\}$$

ここで，${\epsilon }_0$ は真空の誘電率。昔の単位系（CGS-ガウス単位系）を使っているテキストでは，前の定数部分が ${\displaystyle {\epsilon }_0\to \frac{1}{4\pi }}$ となっている。

電磁テンソル $F_{\mu \nu }$ は電磁ポテンシャル $A_{\mu }$ を使って
$$F_{\mu \nu }=A_{\nu ,\mu }–A_{\mu ,\nu }=A_{\nu ;\mu }–A_{\mu ;\nu }$$

ここで，${}_{,\nu }$ は $x^{\nu }$ による偏微分，${}_{;\nu }$ は共変微分をあらわす。

電荷密度 $\rho$ や電流密度 $\mathit{J}$ がない場合のマクスウェル方程式は
$$F_{;\nu }^{\mu \nu }=0$$であり，電磁ポテンシャル $A_{\mu }$ に対してはローレンツゲージ条件を採用することにしよう。
$$A_{;\mu }^{\mu }=0$$

曲がった時空における幾何光学近似

曲がった時空における幾何光学では，電磁ポテンシャル $A_{\nu }$ が電磁波の波長のスケールですばやく変化する部分 $S(\phi )$ （$\phi$ は電磁波の位相）と，時空の曲率半径のスケールできわめてゆっくりと変化する部分 ${\mathcal{A}}_{\nu }$ を使って，以下のように書けるとする。

$$A_{\nu }=S(\phi ){\mathcal{A}}_{\nu }$$

幾何光学「近似」では以下のように近似する。
$$\begin{array}{rcl}{A}_{\nu ,\mu }& =& {(S(\phi ){\mathcal{A}}_{\nu })}_{,\mu }\\ & =& S_{,\mu }{\mathcal{A}}_{\nu }+S{\mathcal{A}}_{\nu ,\mu }\\ & \simeq & S_{,\mu }{\mathcal{A}}_{\nu }\\ & =& S^{\prime }{\phi }_{,\mu }{\mathcal{A}}_{\nu }\end{array}$$

$S(\phi )$の変化のスケールに比べれば ${\mathcal{A}}_{\nu }$ はきわめてゆっくりと変化するので，${\mathcal{A}}_{\nu ,\mu }$ の項は無視しようという近似である。

位相一定面 $\phi =\text{const.}$ の法線ベクトルが光の伝播を表す4元ベクトル $k^{\mu }$ となるので，

$${\phi }_{,\mu }\equiv k_{\mu },\therefore k_{\mu ,\nu }–k_{\nu ,\mu }=k_{\mu ;\nu }–k_{\nu ;\mu }=0$$

4元ベクトル $k^{\mu }$ を使って書くと

$$A_{\nu ;\mu }=S^{\prime }{k}_{\mu }{\mathcal{A}}_{\nu }$$

$$F_{\mu \nu }=S^{\prime }\left(k_{\mu }{\mathcal{A}}_{\nu }–k_{\nu }{\mathcal{A}}_{\mu }\right)$$

ローレンツゲージ条件から

$$A_{;\mu }^{\mu }=S^{\prime }{k}_{\mu }{\mathcal{A}}^{\mu }=0,\therefore k_{\mu }{\mathcal{A}}^{\mu }=0$$

また，

$$\begin{array}{rcl}0& =& F_{;\nu }^{\mu \nu }\\ & =& {\left\{S^{\prime }\left(k^{\mu }{\mathcal{A}}^{\nu }–k^{\nu }{\mathcal{A}}^{\mu }\right)\right\}}_{;\nu }\\ & =& S^{”}{k}_{\nu }\left(k^{\mu }{\mathcal{A}}^{\nu }–k^{\nu }{\mathcal{A}}^{\mu }\right)+S^{\prime }{\left(k^{\mu }{\mathcal{A}}^{\nu }–k^{\nu }{\mathcal{A}}^{\mu }\right)}_{;\nu }\\ & =& S^{”}\left(0–k_{\nu }{k}^{\nu }{\mathcal{A}}^{\mu }\right)+S^{\prime }{\left(k^{\mu }{\mathcal{A}}^{\nu }–k^{\nu }{\mathcal{A}}^{\mu }\right)}_{;\nu }\end{array}$$

$S^{”}$ の係数は独立にゼロにならないといけないので，
$$k_{\nu }{k}^{\nu }=0$$
というヌル条件が出てくる。

このヌル条件と “curl-free” （「うずなし」の気取った表現）条件 $k_{\mu ;\nu }–k_{\nu ;\mu }=0$ を使うと，$k^{\nu }$ が測地線方程式に従うことが導かれる。

$$\begin{array}{rcl}0& =& {\left(k_{\mu }{k}^{\mu }\right)}_{;\nu }\\ & =& 2k_{\mu ;\nu }{k}^{\mu }\\ & =& 2k_{\nu ;\mu }{k}^{\mu }\\ \therefore k_{;\mu }^{\nu }{k}^{\mu }& =& 0\end{array}$$

幾何光学近似でのエネルギー運動量テンソル

最終的にエネルギー運動量テンソルは （$k_{\mu }{k}^{\mu }=0$  と $k_{\mu }{\mathcal{A}}^{\mu }=0$ から $F_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }=0$はすぐわかるので）

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{{\epsilon }_0}{T}_{\mu \nu }& =& F_{\mu \alpha }{F}_{\nu }^{\alpha }–\frac{1}{4}{g}_{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }\\ & =& (S^{\prime }{)}^2\left(k_{\mu }{\mathcal{A}}_{\alpha }–k_{\alpha }{\mathcal{A}}_{\mu }\right)\left(k_{\nu }{\mathcal{A}}^{\alpha }–k^{\alpha }{\mathcal{A}}_{\nu }\right)\\ & =& (S^{\prime }{)}^2{\mathcal{A}}_{\alpha }{\mathcal{A}}^{\alpha }{k}_{\mu }{k}_{\nu }\end{array}$$

$A^2\equiv {\epsilon }_0(S^{\prime }{)}^2{\mathcal{A}}_{\alpha }{\mathcal{A}}^{\alpha }$ とおくと

$$T^{\mu \nu }=A^2{k}^{\mu }{k}^{\nu }$$

これが4元ベクトル $k^{\mu }$ で表される「単色光」の光源天体から放出される，電磁場のエネルギー運動量テンソルである。

$$\begin{array}{rcl}{T}_{;\nu }^{\mu \nu }& =& \{{\left(A^2\right)}_{,\nu }{k}^{\nu }+A^2{k}_{;\nu }^{\nu }\}{k}^{\mu }+A^2{k}_{;\nu }^{\mu }{k}^{\nu }\\ & =& 0\end{array}$$

より，既出の測地線方程式 $k_{;\nu }^{\mu }{k}^{\nu }=0$ と
$${\left(A^2\right)}_{,\nu }{k}^{\nu }+A^2{k}_{;\nu }^{\nu }=0$$あるいは少し書き整えて
$$A_{,\nu }{k}^{\nu }+\frac{1}{2}A{k}_{;\nu }^{\nu }=0$$が得られる。光の世界線をパラメトライズするアフィンパラメータ $v$ を使えば，${\displaystyle k^{\nu }=\frac{d{x}^{\nu }}{dv}}$ であるから

$$A_{,\nu }{k}^{\nu }=\frac{d{x}^{\nu }}{dv}\frac{\partial A}{\partial x^{\nu }}=\frac{dA}{dv}$$を使うと

$$\frac{dA}{dv}+\frac{1}{2}A{k}_{;\nu }^{\nu }=0$$と書いてもよい。

まとめ

4元ベクトル $k^{\mu }$ で表される「単色光」の光源天体から放出される，電磁場のエネルギー運動量テンソルは以下のように書ける。

$$T^{\mu \nu }=A^2{k}^{\mu }{k}^{\nu }$$

$T_{;\nu }^{\mu \nu }=0$ より
$$A_{,\nu }{k}^{\nu }+\frac{1}{2}A{k}_{;\nu }^{\nu }=0$$

$k^{\mu }$ はうずなしのヌル測地線である。

$$k_{\mu ,\nu }–k_{\nu ,\mu }=k_{\mu ;\nu }–k_{\nu ;\mu }=0$$
$$k_{\mu }{k}^{\mu }=0,k_{;\nu }^{\mu }{k}^{\nu }=0$$

参考文献

G. F. R. Ellis – Relativistic Cosmology, in “General Relativity and Cosmology” ed. B. K. Sachs (Academic Press, New York, 1971) の P.144 あたり。