角径距離や光度距離の定義に必要な，曲がった時空における幾何光学近似についておさらしておく。
電磁場のエネルギー運動量テンソル
電磁場のエネルギー運動量テンソルは，SI 単位系では以下のように書ける。（$c = 1$）
$$T_{\mu\nu} = \varepsilon_0 \left\{F_{\mu\alpha} F_{\nu}^{\ \ \alpha}
– \frac{1}{4} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}\right\}$$
ここで，$\varepsilon_0$ は真空の誘電率。昔の単位系（CGS-ガウス単位系）を使っているテキストでは，前の定数部分が $\displaystyle \varepsilon_0 \rightarrow \frac{1}{4\pi}$ となっている。
電磁テンソル $F_{\mu\nu}$ は電磁ポテンシャル $A_{\mu}$ を使って
$$F_{\mu\nu} = A_{\nu, \mu} – A_{\mu, \nu} = A_{\nu;\mu} – A_{\mu; \nu} $$
ここで，${\ }_{, \nu}$ は $x^{\nu}$ による偏微分，${\ }_{; \nu}$ は共変微分をあらわす。
電荷密度 $\rho$ や電流密度 $\boldsymbol{J}$ がない場合のマクスウェル方程式は
$$F^{\mu\nu}_{\ \ \ \ ;\nu} = 0$$であり，電磁ポテンシャル $A_{\mu}$ に対してはローレンツゲージ条件を採用することにしよう。
$$A^{\mu}_{\ \ ;\mu} = 0$$
曲がった時空における幾何光学近似
曲がった時空における幾何光学では，電磁ポテンシャル $A_{\nu}$ が電磁波の波長のスケールですばやく変化する部分 $S(\varphi)$ （$\varphi$ は電磁波の位相）と，時空の曲率半径のスケールできわめてゆっくりと変化する部分 $\cal{A}_{\nu}$ を使って，以下のように書けるとする。
$$A_{\nu} = S(\varphi) {\cal{A}}_{\nu}$$
幾何光学「近似」では以下のように近似する。
\begin{eqnarray}
A_{\nu, \mu} &=& \left(S(\varphi) {\cal{A}}_{\nu}\right)_{,\mu} \\
&=& S_{,\mu} {\cal{A}}_{\nu} + S {\cal{A}}_{\nu, \mu} \\
&\simeq& S_{,\mu} {\cal{A}}_{\nu} \\
&=& S’ \varphi_{,\mu} {\cal{A}}_{\nu}
\end{eqnarray}
$S(\varphi)$の変化のスケールに比べれば ${\cal{A}}_{\nu}$ はきわめてゆっくりと変化するので，${\cal{A}}_{\nu, \mu}$ の項は無視しようという近似である。
位相一定面 $\varphi = \mbox{const.}$ の法線ベクトルが光の伝播を表す4元ベクトル $k^{\mu}$ となるので，
$$\varphi_{,\mu} \equiv k_{\mu}, \quad\therefore\ \ k_{\mu, \nu} – k_{\nu, \mu} = k_{\mu; \nu} – k_{\nu; \mu} =0$$
4元ベクトル $k^{\mu}$ を使って書くと
$$A_{\nu;\mu} = S’ k_{\mu} {\cal{A}}_{\nu}$$
$$F_{\mu\nu} = S’ \left( k_{\mu} {\cal{A}}_{\nu} – k_{\nu} {\cal{A}}_{\mu}\right)$$
ローレンツゲージ条件から
$$A^{\mu}_{\ \ ;\mu} = S’ k_{\mu} {\cal{A}}^{\mu} = 0, \quad\therefore\ \ k_{\mu} {\cal{A}}^{\mu} = 0$$
また，
\begin{eqnarray}
0 &=& F^{\mu\nu}_{\ \ \ ;\nu} \\
&=& \left\{S’ \left( k^{\mu} {\cal{A}}^{\nu} – k^{\nu} {\cal{A}}^{\mu}\right) \right\}_{;\nu} \\
&=& S^{”} k_{\nu} \left( k^{\mu} {\cal{A}}^{\nu} – k^{\nu} {\cal{A}}^{\mu}\right)
+ S’ \left( k^{\mu} {\cal{A}}^{\nu} – k^{\nu} {\cal{A}}^{\mu}\right)_{;\nu} \\
&=& S^{”} \left(0 – k_{\nu}k^{\nu} {\cal{A}}^{\mu}\right)
+ S’ \left( k^{\mu} {\cal{A}}^{\nu} – k^{\nu} {\cal{A}}^{\mu}\right)_{;\nu}
\end{eqnarray}
$S^{”} $ の係数は独立にゼロにならないといけないので，
$$k_{\nu}k^{\nu} = 0$$
というヌル条件が出てくる。
このヌル条件と “curl-free” （「うずなし」の気取った表現）条件 $k_{\mu; \nu} – k_{\nu; \mu} =0$ を使うと，$k^{\nu}$ が測地線方程式に従うことが導かれる。
\begin{eqnarray}
0 &=& \left( k_{\mu} k^{\mu}\right)_{;\nu} \\
&=& 2 k_{\mu; \nu} k^{\mu}\\
&=& 2 k_{\nu; \mu} k^{\mu}\\
\therefore\ \ k^{\nu}_{\ \ ; \mu} k^{\mu} &=& 0
\end{eqnarray}
幾何光学近似でのエネルギー運動量テンソル
最終的にエネルギー運動量テンソルは （$k_{\mu} k^{\mu}=0$ と $k_{\mu} {\cal{A}}^{\mu}=0$ から $F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = 0$はすぐわかるので）
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\varepsilon_0} T_{\mu\nu} &=& F_{\mu\alpha} F_{\nu}^{\ \ \alpha}
– \frac{1}{4} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \\
&=& (S’)^2 \left( k_{\mu} {\cal{A}}_{\alpha} – k_{\alpha} {\cal{A}}_{\mu}\right) \left( k_{\nu} {\cal{A}}^{\alpha} – k^{\alpha} {\cal{A}}_{\nu}\right) \\
&=& (S’)^2 {\cal{A}}_{\alpha}{\cal{A}}^{\alpha}k_{\mu}k_{\nu}
\end{eqnarray}
$A^2 \equiv \varepsilon_0 (S’)^2 {\cal{A}}_{\alpha}{\cal{A}}^{\alpha}$ とおくと
$$T^{\mu\nu} = A^2 k^{\mu}k^{\nu}$$
これが4元ベクトル $k^{\mu}$ で表される「単色光」の光源天体から放出される，電磁場のエネルギー運動量テンソルである。
\begin{eqnarray}
T^{\mu\nu}_{\ \ \ ;\nu} &=&\left\{ \left(A^2\right)_{,\nu} k^{\nu} + A^2 k^{\nu}_{\ \ ;\nu} \right\} k^{\mu}
+ A^2 k^{\mu}_{\ \ ;\nu} k^{\nu} \\
&=& 0
\end{eqnarray}
より，既出の測地線方程式 $k^{\mu}_{\ \ ;\nu} k^{\nu} =0$ と
$$\left(A^2\right)_{,\nu} k^{\nu} + A^2 k^{\nu}_{\ \ ;\nu} = 0$$あるいは少し書き整えて
$$A_{,\nu} k^{\nu} + \frac{1}{2} A k^{\nu}_{\ \ ;\nu} = 0$$が得られる。光の世界線をパラメトライズするアフィンパラメータ $v$ を使えば，$\displaystyle k^{\nu} = \frac{dx^{\nu}}{dv}$ であるから
$$A_{,\nu} k^{\nu} = \frac{dx^{\nu}}{dv} \frac{\partial A}{\partial x^{\nu}} = \frac{dA}{dv}$$を使うと
$$\frac{dA}{dv} + \frac{1}{2} A k^{\nu}_{\ \ ;\nu} = 0$$と書いてもよい。
まとめ
4元ベクトル $k^{\mu}$ で表される「単色光」の光源天体から放出される，電磁場のエネルギー運動量テンソルは以下のように書ける。
$$T^{\mu\nu} = A^2 k^{\mu}k^{\nu}$$
$T^{\mu\nu}_{\ \ \ ;\nu}=0$ より
$$A_{,\nu} k^{\nu} + \frac{1}{2} A k^{\nu}_{\ \ ;\nu} = 0$$
$k^{\mu}$ はうずなしのヌル測地線である。
$$
k_{\mu, \nu} – k_{\nu, \mu} = k_{\mu; \nu} – k_{\nu; \mu} =0
$$
$$ k_{\mu} k^{\mu} = 0, \quad k^{\mu}_{\ \ ;\nu} k^{\nu} = 0$$
参考文献
G. F. R. Ellis – Relativistic Cosmology, in “General Relativity and Cosmology” ed. B. K. Sachs (Academic Press, New York, 1971) の P.144 あたり。