導出については，以下のページ：

補足：スケール因子の解

必要なモジュールの import

In [1]:

from sympy import *
# 1文字変数の Symbol の宣言が省略できる
from sympy.abc import *
# 円周率
from sympy import pi
# SymPy Plotting Backends (SPB)
from spb import *

# グラフを SVG で Notebook にインライン表示
%config InlineBackend.figure_formats = ['svg']

In [2]:

# グラフを描くためではなくデフォルト設定のため
import matplotlib.pyplot as plt

config = {
    'axes.labelsize': 'x-large',
    'mathtext.fontset': 'cm'
}
plt.rcParams.update(config)

$t = 0$ からの $a (t)$ の立ち上がりを揃えたグラフの例

異なる $Ω_{m}$ の場合のスケール因子の時間変化のグラフを， $t = 0$ でのスケール因子 $a (t)$ の傾きを揃えて描く場合。同じようにビッグバンで始まった宇宙の膨張が， $Ω_{m}$ の値によってその後の膨張の仕方に違いがあらわれ，ある場合には途中で膨張が止まって収縮に転じたり，ある場合には永久に膨張が続いたりするんだなぁ… ということを理解するのに適切なグラフ。

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合

$Ω_{m} \to Ω$ として

$\begin{array}{rcl} a_{1} (u, Ω) = \frac{a}{a_{0}} & = & \frac{Ω}{2 (Ω - 1)} (1 - \cos (\sqrt{Ω - 1} u)) \\ t_{1} (u, Ω) = H_{0} t & = & \frac{Ω}{2 (Ω - 1)} (u - \frac{\sin (\sqrt{Ω - 1} u)}{\sqrt{Ω - 1}}) \end{array}$

となりそうだが， $| u | ≪ 1$ での振るまいが後述の $Ω_{m} = 1$ の場合のように（ $Ω$ の値によらずに）

$\begin{array}{rcl} a_{1} & ≃ & \frac{u^{2}}{4} \\ t_{1} & ≃ & \frac{u^{3}}{12} \end{array}$

となるためには，以下のように縦横等倍で縮尺を変えてやればよい。

$\begin{array}{rcl} a_{1} (u, Ω) \equiv \frac{a}{a_{0}} \times Ω^{- 1} & = & \frac{1}{2 (Ω - 1)} (1 - \cos (\sqrt{Ω - 1} u)) \\ t_{1} (u, Ω) \equiv H_{0} t \times Ω^{- 1} & = & \frac{1}{2 (Ω - 1)} (u - \frac{\sin (\sqrt{Ω - 1} u)}{\sqrt{Ω - 1}}) \end{array}$

In [3]:

var('Omega')
def a1(u, Omega):
    return 1/(2*(Omega-1))*(1-cos(sqrt(Omega-1)*u))
def t1(u, Omega):
    return 1/(2*(Omega-1))*(u-sin(sqrt(Omega-1)*u)/sqrt(Omega-1))

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} < 1$ すなわち $k < 0$ の場合

同様に

$\begin{array}{rcl} a_{2} (u, Ω) \equiv \frac{a}{a_{0}} \times Ω^{- 1} & = & \frac{1}{2 (1 - Ω)} (\cosh (\sqrt{1 - Ω} u) - 1) \\ t_{2} (u, Ω) \equiv H_{0} t \times Ω^{- 1} & = & \frac{1}{2 (1 - Ω)} (\frac{\sinh (\sqrt{1 - Ω} u)}{\sqrt{1 - Ω}} - u) \end{array}$

In [4]:

def a2(u, Omega):
    return 1/(2*(1-Omega))*(cosh(sqrt(1-Omega)*u)-1)
def t2(u, Omega):
    return 1/(2*(1-Omega))*(sinh(sqrt(1-Omega)*u)/sqrt(1-Omega)-u)

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} = 1$ すなわち $k = 0$ の場合

$\begin{array}{rcl} a_{3} (u) \equiv lim_{Ω \to 1} a_{1} (u, Ω) & = & \frac{u^{2}}{4} \\ t_{3} (u) \equiv lim_{Ω \to 1} t_{1} (u, Ω) & = & \frac{u^{3}}{12} \end{array}$

In [5]:

Eq(Limit('a1(u, Omega)', Omega, 1), 
   limit(a1(u, Omega), Omega, 1))

Out[5]:

lim_{Ω \to 1^{+}} a_{1} (u, Ω) = \frac{u^{2}}{4}

In [6]:

Eq(Limit('t1(u, Omega)', Omega, 1), 
   limit(t1(u, Omega), Omega, 1))

Out[6]:

lim_{Ω \to 1^{+}} t_{1} (u, Ω) = \frac{u^{3}}{12}

In [7]:

def a3(u):
    return u**2/4
def t3(u):
    return u**3/12

In [8]:

Omega1 = 1.1
Omega2 = 0.9
# 0 <= u <= u1 まで 
u1 = 2*pi/sqrt(Omega1 -1)
trange = t1(u1, Omega1)*1.02

p = plot_parametric(
    (t2(u, Omega2), a2(u, Omega2), (u, 0, u1), {'color':'blue'}), 
    (t3(u        ), a3(u        ), (u, 0, u1), {'color':'black'}), 
    (t1(u, Omega1), a1(u, Omega1), (u, 0, u1), {'color':'red'}), 
    xlim = (0, trange), ylim = (0, 42), 
    use_cm = False, legend = False, show=False)

ax = p.ax

# 座標軸の目盛を非表示に
ax.axes.xaxis.set_ticks([0]);
ax.axes.yaxis.set_ticks([0]);

# 数式フォント設定
ax.set_title(r"$\Omega_{\Lambda}=0$ の場合のスケール因子の時間発展")
ax.set_xlabel(r"$t$")
ax.set_ylabel(r"$a(t)$")

# 曲線の近くにラベルと数式フォント設定
ax.text(60, 38, r"$\Omega_{\rm{m}} < 1\ \ (k < 0)$", 
        {'color':'blue', 'size':'x-large'})
ax.text(60, 18, r"$\Omega_{\rm{m}} = 1\ \ (k = 0)$", 
        {'color':'black', 'size':'x-large'})
ax.text(60, 10.5, r"$\Omega_{\rm{m}} > 1\ \ (k > 0)$", 
        {'color':'red', 'size':'x-large'});

$t = t_{0}$ で $a (t_{0})$ と $H_{0} = \frac{\dot{a}}{a} |_{t_{0}}$ を揃えたグラフの例

異なる $Ω_{m}$ の場合のスケール因子の時間変化のグラフを，現在時刻 $t = t_{0}$ でのスケール因子 $a (t)$ の傾きを揃えて描く場合。現在時刻でのスケール因子の傾きを表すハッブル定数 $H_{0}$ の値が同じでも，時間を遡るとやがて $a (t)$ がゼロになる時刻すなわち宇宙年齢が異なるのだなぁ… ということを理解するのに便利なグラフ。

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合

$\begin{array}{rcl} \frac{a}{a_{0}} \equiv x & = & \frac{Ω_{m}}{2 (Ω_{m} - 1)} (1 - \cos (\sqrt{k} η)) \\ H_{0} t & = & \frac{Ω_{m}}{2 (Ω_{m} - 1)^{\frac{3}{2}}} (\sqrt{k} η - \sin (\sqrt{k} η)) \end{array}$

これから
$\begin{array}{rcl} \cos \sqrt{k} η & = & 1 - \frac{2 (Ω_{m} - 1)}{Ω_{m}} x \\ \sqrt{k} η & = & \cos^{- 1} (1 - \frac{2 (Ω_{m} - 1)}{Ω_{m}} x) \end{array}$

$Ω_{m} \to Ω$ として

$\begin{array}{rcl} ∴ T_{1} (x, Ω) & \equiv & H_{0} t = \frac{Ω}{2 (Ω - 1)^{\frac{3}{2}}} (\sqrt{k} η - \sin \sqrt{k} η) \\ = & \frac{Ω}{2 (Ω - 1)^{\frac{3}{2}}} (\cos^{- 1} (1 - \frac{2 (Ω - 1)}{Ω} x) - \sqrt{1 - {(1 - \frac{2 (Ω - 1)}{Ω} x)}^{2}}) \end{array}$

として， $H_{0} t$ を $x$ で表す。

In [9]:

def T1(x, Omega):
    return (Omega/(2*(Omega-1)*sqrt(Omega-1)) * 
            (acos(1 - 2*(Omega-1)/Omega * x) 
             - sqrt(1-(1-2*(Omega-1)/Omega * x)**2)))

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} < 1$ すなわち $k < 0$ の場合

$\begin{array}{rcl} \frac{a}{a_{0}} \equiv x & = & \frac{Ω_{m}}{2 (1 - Ω_{m})} (\cosh \sqrt{k} η - 1) a \end{array}$

これから
$\begin{array}{rcl} \cosh \sqrt{k} η & = & 1 + \frac{2 (1 - Ω_{m})}{Ω_{m}} x \\ \sqrt{k} η & = & \cosh^{- 1} (1 + \frac{2 (1 - Ω_{m})}{Ω_{m}} x) \end{array}$

$Ω_{m} \to Ω$ として

$\begin{array}{rcl} ∴ T_{2} (x, Ω) & \equiv & H_{0} t = \frac{Ω}{2 (1 - Ω)^{\frac{3}{2}}} (\sinh \sqrt{k} η - \sqrt{k} η) \\ = & \frac{Ω}{2 (1 - Ω)^{\frac{3}{2}}} (\sqrt{{(1 + \frac{2 (1 - Ω)}{Ω} x)}^{2} - 1} - \cosh^{- 1} (1 + \frac{2 (1 - Ω)}{Ω} x)) \end{array}$

として， $H_{0} t$ を $x$ で表す。

In [10]:

def T2(x, Omega):
    return (Omega/(2*(1-Omega)*sqrt(1-Omega)) * 
            (sqrt((1+2*(1-Omega)/Omega * x)**2 -1) 
             -acosh(1 + 2*(1-Omega)/Omega * x)))

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} = 1$ すなわち $k = 0$ の場合

$\begin{array}{rcl} \frac{a}{a_{0}} = x & = & {(\frac{3}{2} H_{0} t)}^{\frac{2}{3}} \end{array}$ $∴ T_{3} (x) \equiv H_{0} t = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$

In [11]:

def T3(x):
    return 2/3 * x*sqrt(x)

In [12]:

Omega1 = 2
Omega2 = 0.1

p=plot_parametric(
    (T2(x, Omega2)-T2(1, Omega2), x, (x, 0, 3), 
     r"$\Omega_{\rm m} < 1\ \ (k < 0)$", {'color':'blue'}), 
    (T3(x        )-T3(1        ), x, (x, 0, 3), 
     r"$\Omega_{\rm m} = 1\ \ (k = 0)$", {'color':'black'}), 
    (T1(x, Omega1)-T1(1, Omega1), x, (x, 0, 3), 
     r"$\Omega_{\rm m} > 1\ \ (k > 0)$", {'color':'red'}), 
    xlim = (-1, 1.6), ylim = (0, 3), 
    use_cm = False, legend = True, show=False)

ax = p.ax
# グリッドを dotted で
ax.grid(which="major", linestyle = 'dotted')

# 数式フォント設定
ax.set_title(r"$\Omega_{\Lambda}=0$ の場合のスケール因子の時間発展")
ax.set_xlabel(r"$H_0 (t -t_0)$")
ax.set_ylabel(r"$a(t)/a_0$")
ax.legend(prop={"size":"large"})

# 現在 t=t0 
ax.axhline(1, color='black', dashes=(3, 3), linewidth=0.6)
ax.axvline(0, color='black', dashes=(3, 3), linewidth=0.6)

# 副目盛も表示
ax.minorticks_on()
# 副目盛には grid をつけない
ax.grid(False, which="minor");

$k = 0, Ω_{Λ} > 0$ の場合の追加

宇宙定数がある場合のスケール因子の時間変化についても追加しておく。

$\begin{array}{rcl} \frac{a}{a_{0}} = x & = & {\sqrt{\frac{Ω_{m}}{1 - Ω_{m}}} \sinh (\frac{3 \sqrt{1 - Ω_{m}}}{2} H_{0} t)}^{\frac{2}{3}} \end{array}$

より $Ω_{m} \to Ω$ として

$T_{4} (x, Ω) \equiv H_{0} t = \frac{2}{3 \sqrt{1 - Ω}} \sinh^{- 1} (\sqrt{\frac{1 - Ω}{Ω}} x^{\frac{3}{2}})$

In [13]:

def T4(x, Omega):
    return 2/(3*sqrt(1-Omega)) * asinh(sqrt((1-Omega)/Omega) * x*sqrt(x))

また， $t = 0$ からの $a (t)$ の立ち上がりを揃えたグラフにするには，以下のように定義すればよいであろう。

In [14]:

def a4(u, Omega):
    return (sqrt(1/(1-Omega))*sinh(3*sqrt(1-Omega)*u**3/12/2))**(2/3)
def t4(u, Omega):
    return u**3/12

$t = 0$ からの $a (t)$ の立ち上がりを揃えたグラフの例

In [15]:

Omega1 = 1.1
Omega2 = 0.7
# 0 <= u <= u1 まで 
u1 = 2*pi/sqrt(Omega1 -1)
trange = t1(u1, Omega1)*1.1

p = plot_parametric(
    (t4(u, 0.999), a4(u, 0.999), (u, 0, u1), {'color':'purple'}), 
    (t2(u, Omega2), a2(u, Omega2), (u, 0, u1), {'color':'blue'}), 
    (t3(u        ), a3(u        ), (u, 0, u1), {'color':'black'}), 
    (t1(u, Omega1), a1(u, Omega1), (u, 0, u1), {'color':'red'}), 
    xlim = (0, trange),  ylim = (0, 120), 
    use_cm = False, legend = False, show=False)

ax = p.ax

# 座標軸の目盛を非表示に
ax.axes.xaxis.set_ticks([0]);
ax.axes.yaxis.set_ticks([0]);

# 数式フォント設定
ax.set_title(r"スケール因子の時間発展")
ax.set_xlabel(r"$t$")
ax.set_ylabel(r"$a(t)$")

# 曲線の近くにラベルと数式フォント設定
ax.text(80, 75, r"$k=0, \Omega_{\Lambda} >0$", 
        {'color':'purple', 'size':'large'})
ax.text(80, 62, r"$k<0, \Omega_{\Lambda} =0$", 
        {'color':'blue', 'size':'large'})
ax.text(80, 30, r"$k=0, \Omega_{\Lambda} =0$", 
        {'color':'black', 'size':'large'})
ax.text(80, 9, r"$k>0, \Omega_{\Lambda} =0$", 
        {'color':'red', 'size':'large'});

$t = t_{0}$ で $a (t_{0})$ と $H_{0} = \frac{\dot{a}}{a} |_{t_{0}}$ を揃えたグラフの例

In [16]:

Omega1 = 2
Omega2 = 0.3

p=plot_parametric(
    (T4(x, Omega2)-T4(1, Omega2), x, (x, 0, 4), 
     r"$\Omega_{\rm m} =%.1f, \ \Omega_{\Lambda} =%.1f$" % (Omega2, 1-Omega2), 
     {'color':'purple'}), 
    (T2(x, Omega2)-T2(1, Omega2), x, (x, 0, 3), 
     r"$\Omega_{\rm m} =%.1f, \ \Omega_{\Lambda} =%.1f$" % (Omega2, 0), 
     {'color':'blue'}), 
    (T3(x        )-T3(1        ), x, (x, 0, 3), 
     r"$\Omega_{\rm m} =%.1f, \ \Omega_{\Lambda} =%.1f$" % (1, 0), 
     {'color':'black'}), 
    (T1(x, Omega1)-T1(1, Omega1), x, (x, 0, 2), 
     r"$\Omega_{\rm m} =%.1f, \ \Omega_{\Lambda} =%.1f$" % (Omega1, 0), 
     {'color':'red'}), 
    xlim = (-1, 1.6), ylim = (0, 4), 
    use_cm = False, legend = True, show=False)

ax = p.ax
# グリッドを dotted で
ax.grid(which="major", linestyle = 'dotted')

# 現在 t=t0 
ax.axhline(1, color='black', dashes=(3, 3), linewidth=0.6)
ax.axvline(0, color='black', dashes=(3, 3), linewidth=0.6)

# 数式フォント設定
ax.set_title("スケール因子の時間発展")
ax.set_xlabel(r"$H_0 (t - t_0)$")
ax.set_ylabel(r"$a(t)/a_0$")
ax.legend(prop={"size": "large"})

# 副目盛も表示
ax.minorticks_on()
# 副目盛には grid をつけない
ax.grid(False, which="minor");

補足：SymPy と SPB でスケール因子のグラフを描く

必要なモジュールの import

$t = 0$ からの $a (t)$ の立ち上がりを揃えたグラフの例

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} < 1$ すなわち $k < 0$ の場合

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} = 1$ すなわち $k = 0$ の場合

$t = t_{0}$ で $a (t_{0})$ と $H_{0} = \frac{\dot{a}}{a} |_{t_{0}}$ を揃えたグラフの例

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} < 1$ すなわち $k < 0$ の場合

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} = 1$ すなわち $k = 0$ の場合

$k = 0, Ω_{Λ} > 0$ の場合の追加

$t = 0$ からの $a (t)$ の立ち上がりを揃えたグラフの例

$t = t_{0}$ で $a (t_{0})$ と $H_{0} = \frac{\dot{a}}{a} |_{t_{0}}$ を揃えたグラフの例

このページの目次

このセクションの構成

補足：SymPy と SPB でスケール因子のグラフを描く

必要なモジュールの import

t=0 からの a(t) の立ち上がりを揃えたグラフの例

ΩΛ=0,Ωm>1 すなわち k>0 の場合

ΩΛ=0,Ωm<1 すなわち k<0 の場合

ΩΛ=0,Ωm=1 すなわち k=0 の場合

t=t0 で a(t0) と H0=a˙a|t0 を揃えたグラフの例

ΩΛ=0,Ωm>1 すなわち k>0 の場合

ΩΛ=0,Ωm<1 すなわち k<0 の場合

ΩΛ=0,Ωm=1 すなわち k=0 の場合

k=0, ΩΛ>0 の場合の追加

t=0 からの a(t) の立ち上がりを揃えたグラフの例

t=t0 で a(t0) と H0=a˙a|t0 を揃えたグラフの例

このページの目次

このセクションの構成

$t = 0$ からの $a (t)$ の立ち上がりを揃えたグラフの例

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} < 1$ すなわち $k < 0$ の場合

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} = 1$ すなわち $k = 0$ の場合

$t = t_{0}$ で $a (t_{0})$ と $H_{0} = \frac{\dot{a}}{a} |_{t_{0}}$ を揃えたグラフの例

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} < 1$ すなわち $k < 0$ の場合

$Ω_{Λ} = 0, Ω_{m} = 1$ すなわち $k = 0$ の場合

$k = 0, Ω_{Λ} > 0$ の場合の追加

$t = 0$ からの $a (t)$ の立ち上がりを揃えたグラフの例

$t = t_{0}$ で $a (t_{0})$ と $H_{0} = \frac{\dot{a}}{a} |_{t_{0}}$ を揃えたグラフの例