まず，宇宙定数も入れたフリードマン方程式は
$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G}{3} \rho_0\left(\frac{a_0}{a}\right)^3 + \frac{\Lambda}{3}$$
宇宙論パラメータ
$$H_0 = \frac{\dot{a}}{a}\Bigg|_{t=t_0}, \ \ \Omega_{\rm m} = \frac{8\pi G \rho_0}{3 H_0^2},
\ \ \Omega_{\Lambda} = \frac{\Lambda}{3 H_0^2}$$
以下の式も使います。
$$\frac{k}{H_0^2 a_0^2} = \Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} – 1$$
宇宙論パラメータで書いたフリードマン方程式
\begin{eqnarray}
\left(\frac{\dot{a}}{a} \right)^2
&=& H_0^2 \left\{\Omega_{\rm m} \left(\frac{a_0}{a}\right)^3 + \Omega_{\Lambda}
+ \left(1 – \Omega_{\rm m} – \Omega_{\Lambda}\right)\left(\frac{a_0}{a}\right)^2\right\}
\end{eqnarray}
これをスケール因子 $a(t)$ について解いてみる。
$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合
$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合は，別件でも $dt = a d\eta$ として導入している共形時間 $\eta$ を使うと，
$$\left\{ \frac{d}{d\eta}\left(\frac{a}{a_0}\right)\right\}^2
=H_0^2 a_0^2 \left\{\Omega_{\rm m} \left( \frac{a}{a_0}\right) – (\Omega_{\rm m} -1)\left( \frac{a}{a_0}\right)^2\right\}
$$
$\displaystyle x \equiv \frac{a}{a_0}$ を使うと（$\Omega_{\rm m} > 1$ を仮定して）
\begin{eqnarray}
\left(\frac{dx}{d\eta} \right)^2 &=& \left\{\Omega_{\rm m} x – (\Omega_{\rm m} -1) x^2\right\} \\
&=& H_0^2 a_0^2 (\Omega_{\rm m} -1)
\left\{\left(\frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)} \right)^2 –
\left(x – \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)}\right)^2\right\}
\end{eqnarray}
ここで，変数を
\begin{eqnarray}
\bar{\eta} &\equiv& H_0 a_0 \sqrt{\Omega_{\rm m} -1} \eta = \sqrt{k} \eta\\
\bar{x} &\equiv& x – \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)} \\
\frac{1}{b} &\equiv& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)}
\end{eqnarray}
とおきかれば
$$\left(\frac{d\bar{x}}{d\bar{\eta}} \right)^2 = \frac{1}{b^2} – \bar{x}^2$$
という形の微分方程式となり，これは別ページでも説明しているように，ただちに以下のように解ける。
\begin{eqnarray}
\bar{x} = \frac{a}{a_0} – \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)} = \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)}\sin(\bar{\eta} + C)
\end{eqnarray}
$\eta = 0$ すなわち $\bar{\eta} = 0$ で $a = 0$ という初期条件をつけると，積分定数 $C$ は
$$\sin C = -1, \quad\therefore\ \ C = -\frac{\pi}{2}$$
$$\sin(\bar{\eta} -\frac{\pi}{2}) = -\cos\bar{\eta}$$を使うと，最終的に
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} &=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)}
\left(1 -\cos\bar{\eta}\right)\\
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)}
\left(1 -\cos\left(\sqrt{k} \eta\right)\right)
\end{eqnarray}
時間座標 $t$ は $dt = a(\eta) d\eta$ より
\begin{eqnarray}
H_0 t &=& H_0 a_0 \int_0^{\eta} \frac{a}{a_0} d\eta\\
&=&\frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)^{\frac{3}{2}} }
\left(\sqrt{k} \eta -\sin\left(\sqrt{k} \eta\right)\right)
\end{eqnarray}
$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} > 1$ すなわち $k > 0$ の場合
スケール因子 $a(t)$ は共形時間 $\eta$ を媒介変数として書けることがわかっている。今後のために
$$\sqrt{k} \eta = H_0 a_0 \sqrt{\Omega_{\rm m} -1} \eta \equiv \sqrt{\Omega_{\rm m} -1} u$$
として，媒介変数 $u$ を使って表すことにすると，
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0}
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)}
\left(1 -\cos\left(\sqrt{k} \eta\right)\right)\\
&=&
\frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)}
\left(1 -\cos\left(\sqrt{\Omega_{\rm m} -1} u\right)\right) \\
H_0 t &=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)^{\frac{3}{2}} }
\left(\sqrt{k} \eta -\sin\left(\sqrt{k} \eta\right)\right) \\
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1) }
\left(u -\frac{\sin\left(\sqrt{\Omega_{\rm m} -1} u\right)}{\sqrt{\Omega_{\rm m} -1}}\right)
\end{eqnarray}
スケール因子 $a$ は $\sqrt{k} \eta = \pi$，すなわち $H_0 t = \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (\Omega_{\rm m} -1)^{\frac{3}{2}} } \pi$ で最大値 $\frac{a}{a_0} = \frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1}$ になり，その後，収縮に転じる。
$t = 0$ で $a = 0$ から始まった宇宙が，ふたたび $a=0$ までの時間は $H_0 t = \frac{\Omega_{\rm m}}{ (\Omega_{\rm m} -1)^{\frac{3}{2}} } \pi$ である。
$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} < 1$ すなわち $k < 0$ の場合
上の式がそのまま使えて
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0}
&=& -\frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m} )}
\left(1 -\cos\left(i \sqrt{|k|} \eta\right)\right)\\
&=&\frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m} )}
\left(\cosh\left(\sqrt{|k|} \eta\right) -1\right) \\
&=&\frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m} )}
\left(\cosh\left(\sqrt{1-\Omega_{\rm m}} u\right) -1\right) \\
\\
H_0 t &=& -\frac{1}{i} \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m})^{\frac{3}{2}} }
\left(i \sqrt{|k|} \eta -\sin\left(i\sqrt{|k|} \eta\right)\right)\\
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m})^{\frac{3}{2}} }
\left(\sinh\left(\sqrt{|k|} \eta\right) – \sqrt{|k|} \eta\right) \\
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m}) }
\left(\frac{\sinh\left(\sqrt{1-\Omega_{\rm m}} u\right)}{\sqrt{1-\Omega_{\rm m}} } – u\right)
\end{eqnarray}
この場合，宇宙は無限に膨張を続けるが，十分大きな $\eta$ に対しては
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} &\rightarrow& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m} )} \frac{1}{2} \exp\left(\sqrt{1-\Omega_{\rm m}} u\right) \\
H_0 t &\rightarrow& \frac{\Omega_{\rm m}}{2 (1-\Omega_{\rm m})^{\frac{3}{2}} }\frac{1}{2} \exp\left(\sqrt{1-\Omega_{\rm m}} u\right) \\
\therefore\ \ \frac{a}{a_0} &\simeq& \sqrt{1-\Omega_{\rm m}} H_0 t \propto t
\end{eqnarray}
となり，スケール因子 $a(t)$ は時間 $t$ に比例するようになる。
$\Omega_{\Lambda} = 0, \Omega_{\rm m} = 1$ すなわち $k = 0$ の場合
上の式をそのまま使って $k \rightarrow 1$ の極限をとればよい。
$$\lim_{\Omega_{\rm m} \rightarrow 1} \frac{a}{a_0} = \frac{u^2}{4}$$
$$\lim_{\Omega_{\rm m} \rightarrow 1} H_0 t = \frac{u^3 }{12} = \frac{2}{3} \left( \frac{u^2}{4}\right)^{\frac{3}{2}}$$
これから $u$ を消去して
$$\therefore\ \ \frac{a}{a_0} = \left(\frac{3}{2} H_0 t\right)^{\frac{2}{3}}$$
スケール因子のグラフの例
$t = 0$ からの $a(t)$ の立ち上がりを揃えたグラフの例
$t = t_0$ で $a(t_0)$ と $H_0 = \frac{\dot{a}}{a}|_{t_0}$ を揃えたグラフの例
$k=0$ の場合
$k = 0, \ 0<\Omega_{\rm m} < 1$ つまり $\Omega_{\Lambda} > 0$ の場合
$1 – \Omega_{\rm m} – \Omega_{\Lambda} = 0$ の場合のフリードマン方程式
\begin{eqnarray}
\left(\frac{\dot{a}}{a} \right)^2
&=& H_0^2 \left\{\Omega_{\rm m} \left(\frac{a_0}{a}\right)^3 + (1 – \Omega_{\rm m})
\right\}
\end{eqnarray}
を $\displaystyle x \equiv \frac{a}{a_0}$ を使って表すと，
$$\frac{dx}{dt} = H_0 \sqrt{1-\Omega_{\rm m}}\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{1-\Omega_{\rm m}} \frac{1}{x} + x^2}$$
$$\therefore\ \ \sqrt{1-\Omega_{\rm m}} H_0 t = \int_0^x \frac{\sqrt{x} dx}{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{1-\Omega_{\rm m}} + x^3}}$$
この積分を行うために，以下のような変数変換を使う。
$$x^3 \equiv \frac{\Omega_{\rm m}}{1-\Omega_{\rm m}} y^2, \quad \therefore\ \
x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{1-\Omega_{\rm m}}} y$$
両辺の微分をとると
$$\sqrt{x} dx = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{1-\Omega_{\rm m}}} dy$$
よって懸案の積分は
\begin{eqnarray}
\int_0^x \frac{\sqrt{x} dx}{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{1-\Omega_{\rm m}} + x^3}}&=&
\frac{2}{3} \int_0^y \frac{dy}{\sqrt{1 + y^2}} \\
&=& \frac{2}{3} \sinh^{-1} y
\end{eqnarray}
したがって
$$\sqrt{1-\Omega_{\rm m}} H_0 t =\frac{2}{3} \sinh^{-1} y$$最終的に $\displaystyle x = \frac{a}{a_0}$ について解くと，
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} &=& \left\{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{1-\Omega_{\rm m}}}
\sinh\left(\frac{3\sqrt{1-\Omega_{\rm m}}}{2} H_0 t\right)\right\}^{\frac{2}{3}} \\
&=&\left\{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{1-\Omega_{\rm m}}}
\sinh\left(\frac{3}{2} \sqrt{\frac{\Lambda}{3}} t\right)\right\}^{\frac{2}{3}}
\end{eqnarray}
この場合，スケール因子は時間の単調増加関数となるが，特に $t$ が非常に大きいときには
$$a \propto \left\{\sinh\left(\frac{3}{2} \sqrt{\frac{\Lambda}{3}} t\right) \right\}^{\frac{2}{3}} \simeq
\left\{\frac{1}{2}\exp\left(\frac{3}{2} \sqrt{\frac{\Lambda}{3}} t\right) \right\}^{\frac{2}{3}} $$と，まさに指数関数的に膨張する。
スケール因子のグラフの例
$t = t_0$ で $a(t_0)$ と $H_0 = \frac{\dot{a}}{a}|_{t_0}$ を揃えたグラフの例
$k = 0, \ 1<\Omega_{\rm m} $ つまり $\Omega_{\Lambda} < 0$の場合
上の式をそのまま使って
\begin{eqnarray}
\frac{a}{a_0} &=& \left\{\frac{1}{i} \sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1}}
\sinh\left(i \frac{3\sqrt{\Omega_{\rm m}-1}}{2} H_0 t\right)\right\}^{\frac{2}{3}}\\
&=& \left\{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1}}
\sin\left(\frac{3\sqrt{\Omega_{\rm m}-1}}{2} H_0 t\right)\right\}^{\frac{2}{3}}
\end{eqnarray}
$k = 0, \ \Omega_{\rm m} =1$ つまり $\Omega_{\Lambda} = 0$の場合
上の式をそのまま使って $\Omega_{\rm m} \rightarrow 1$ の極限をとれば
\begin{eqnarray}
\lim_{\Omega_{\rm m} \rightarrow 1}\frac{a}{a_0}
&=& \left(\frac{3}{2} H_0 t\right)^{\frac{2}{3}}
\end{eqnarray}
$\Omega_{\rm m} = 0$ の場合
物質が何もない宇宙というのは意義があるのかどうかは別にして，$\Omega_{\rm m} = 0$ の場合のフリードマン方程式
\begin{eqnarray}
\left(\frac{\dot{a}}{a} \right)^2
&=& H_0^2 \left\{ \Omega_{\Lambda} + (1-\Omega_{\Lambda})\left(\frac{a_0}{a}\right)^2
\right\}
\end{eqnarray}
を $\displaystyle x \equiv \frac{a}{a_0}$ を使って表すと，
$$\frac{dx}{dt} = H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}} \sqrt{\frac{1-\Omega_{\Lambda}}{\Omega_{\Lambda}} + x^2}$$
$0 < \Omega_{\Lambda} < 1$ の場合
\begin{eqnarray}
\sqrt{\Omega_{\Lambda}}H_0 t &=& \int_0^x \frac{dx}{\sqrt{\frac{1-\Omega_{\Lambda}}{\Omega_{\Lambda}} + x^2 }} = \sinh^{-1} \left( \sqrt{\frac{\Omega_{\Lambda}}{1-\Omega_{\Lambda}} }x\right)
\end{eqnarray}
したがって
$$ \frac{a}{a_0} = \sqrt{\frac{1-\Omega_{\Lambda}}{\Omega_{\Lambda}} }\sinh \left(\sqrt{\Omega_{\Lambda}}H_0 t \right)$$
$\Omega_{\Lambda} = 1$ の場合
$$\frac{dx}{dt} = H_0 x$$から
$$\frac{a}{a_0} = \exp\left(H_0 t\right)$$
スケール因子 \(a(t)\) がゼロとなる時刻を「宇宙のはじまり」とすると，この場合 $a(t) = 0$ となるのは $t \rightarrow \infty$ つまり無限の過去となる。
$\Omega_{\Lambda} > 1$ の場合
$\displaystyle x \equiv \frac{a}{a_0}$ を使って表した式
$$\frac{dx}{dt} = H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}} \sqrt{x^2 – \frac{\Omega_{\Lambda}-1}{\Omega_{\Lambda}} }$$
より，$$x = \frac{a}{a_0} \geq \sqrt{\frac{\Omega_{\Lambda}-1}{\Omega_{\Lambda}} }$$となり，宇宙は $a=0$ から始まらないことになる。
$\displaystyle X \equiv \sqrt{\frac{\Omega_{\Lambda}}{\Omega_{\Lambda}-1}} x, \ \ d\tau \equiv \sqrt{\Omega_{\Lambda}} H_0 dt$ とおけば，
\begin{eqnarray}
\frac{dX}{d\tau} &=& \sqrt{X^2 – 1} \\
\frac{dX}{\sqrt{X^2 – 1} } &=& d\tau \\
\cosh^{-1} X &=& \tau + C \\
X &=& \cosh (\tau + C) \\
\sqrt{\frac{\Omega_{\Lambda}}{\Omega_{\Lambda}-1}} \frac{a}{a_0} &=& \cosh (\sqrt{\Omega_{\Lambda}} H_0 t + C) \\ \ \\
\therefore \ \ \frac{a}{a_0} &=& \sqrt{\frac{\Omega_{\Lambda}-1}{\Omega_{\Lambda}}}\cosh (\sqrt{\Omega_{\Lambda}} H_0 t + C)
\end{eqnarray}
このようなふるまいをする宇宙モデルは，カテナリー宇宙とよばれる。「カテナリー曲線」のページも参照。
番外編：$\Omega_{\rm m} = 0, \Omega_{\Lambda} =0$ の場合
ダスト物質もない（$\Omega_{\rm m} = 0$）し，宇宙定数もない（$\Omega_{\Lambda} = 0$），つまり真空ということ。その場合のフリードマン方程式は
\begin{eqnarray}
\left(\frac{\dot{a}}{a} \right)^2
&=& H_0^2 \left(\frac{a_0}{a}\right)^2
\end{eqnarray}
$\dot{a}>0$ として解くと，
$$ \frac{a}{a_0} = H_0 t$$
$$\frac{k}{H_0^2 a_0^2} = \Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} – 1 \Rightarrow -1 $$
ということで負の曲率項が宇宙膨張を引き起こしていることになる。この宇宙モデルをミルン宇宙と呼ぶ。ミルン宇宙の計量は FLRW 計量であるから，3次元空間の計量のバリエーションをいくつか書くと，
\begin{eqnarray}
ds^2 &=& -dt^2 + \left( H_0 a_0 t\right)^2 \left(\frac{dr^2}{1 + |k| r^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \right) \\
&=&-dt^2 + \left( H_0 a_0 t\right)^2 \left(d\chi^2 +\left(\frac{\sinh(\sqrt{|k|}\chi)}{\sqrt{|k|}}\right)^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \right)
\end{eqnarray}
この解は，一様等方だから当然球対称で真空だけど，静的でない例になっている。
「球対称真空なら静的」という有名な定理があるが，ミルン宇宙はその例外？というか反例？になっているように思え，すわ！バーコフの定理，破れたり!? と早合点しないように。MTW の 27.11 にちゃんと書いてありました。
簡単のために， \( H_0 a_0 = 1\) とすると，\( k = -1\) となるので，ミルン宇宙の計量は
\begin{eqnarray}
ds^2
&=&-dt^2 + t^2 \left(d\chi^2 +\sinh^2 \chi (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \right)
\end{eqnarray}
となるが，これは以下の簡単な座標変換でミンコフスキー計量になってしまいます。
\begin{eqnarray}
r &\equiv& t \sinh \chi \\
\tau &\equiv& t \cosh \chi
\end{eqnarray}
微分をとると
\begin{eqnarray}
dr &=& dt \sinh \chi + t \cosh \chi\, d\chi \tag{1}\\
d\tau &=& dt \cosh \chi + t \sinh \chi\, d\chi\tag{2}
\end{eqnarray}
このまま \(-d\tau^2 + dr^2\) を計算してもいいですし，あえて \( (2) \times \cosh \chi – (1) \times \sinh \chi\) から
$$d\tau \cosh\chi – dr \sinh \chi = dt$$
と \( (1) \times \cosh \chi – (2) \times \sinh \chi\) から
$$dr \cosh \chi – d\tau \sinh \chi = t d\chi$$
を計算して，
\begin{eqnarray}
ds^2
&=&-dt^2 + t^2 d\chi^2 +t^2 \sinh^2 \chi (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \\
&=& -\left(d\tau \cosh\chi – dr \sinh \chi\right)^2 + \left( dr \cosh \chi – d\tau \sinh \chi\right)^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \\
&=& -d\tau^2 + dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)
\end{eqnarray}
として，ああ！ミンコフスキー計量になるのだなぁ，と思ってもよい。