見かけの光度が距離の2乗に反比例することから定義される光度距離について，一般的な定義から説き起こす。
必要な式のおさらい
幾何光学近似
ここでまとめているように，4元ベクトル $k^{\mu}$ で表される「単色光」の光源天体から放出される，電磁場のエネルギー運動量テンソルは
$$T^{\mu\nu} = A^2 k^{\mu}k^{\nu}$$
$T^{\mu\nu}_{\ \ \ ;\nu}=0$ より
$$A_{,\nu} k^{\nu} + \frac{1}{2} A k^{\nu}_{\ \ ;\nu} = 0$$
ちなみに，ヌル測地線のアフィンパラメータ $v$ を使うと，
$$A_{,\nu} k^{\nu} = \frac{dx^{\nu}}{dv} \frac{\partial}{\partial x^{\nu} }A = \frac{d A}{dv}$$であるので
$$\frac{d A}{dv} + \theta A = 0$$と書いた方が見通しが良いかも知れない。$\theta$ は光線束の expansion。
$k^{\mu}$ はうずなしのヌル測地線である。
$$
k_{\mu, \nu} – k_{\nu, \mu} = k_{\mu; \nu} – k_{\nu; \mu} =0
$$
$$ k_{\mu} k^{\mu} = 0, \quad k^{\mu}_{\ \ ;\nu} k^{\nu} = 0$$
観測者の4元速度に基づいた \(k^{\mu}\) の $3+1$ 分解
$$k^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{dv} = \omega ( u^{\mu} + \gamma^{\mu})$$
ここで，$\omega$ は4元速度 $u^{\mu}$ の観測者が観測する光の振動数であり
$$\omega \equiv – k_{\mu} u^{\mu}$$
また，$\gamma^{\mu}$ は $u^{\mu}$ に直交する空間的単位ベクトルであり，
$$u_{\mu} u^{\mu} = -1, \quad u_{\mu} \gamma^{\mu} = 0, \quad \gamma_{\mu} \gamma^{\mu} = 1$$
光源天体からのエネルギー流束
4元速度 $u^{\mu}$ の観測者が観測する，光源天体からのエネルギー流束 $f^{\mu}$ は
\begin{eqnarray}
f^{\mu} &=& \left(g^{\mu\alpha} + u^{\mu} u^{\alpha} \right) T_{\alpha\beta} u^{\beta}\\
&=& A^2 \omega^2 \gamma^{\mu} \\
&\equiv& f \gamma^{\mu}
\end{eqnarray}
ここで $f = A^2 \omega^2$ は $\gamma^{\mu}$ に垂直な面に対するエネルギー流束（単位面積単位時間あたりのエネルギーの流れ）であり，光度 $L$ の光源天体に対して，4元速度 $u^{\mu}$ の観測者が観測する見かけの光度に相当する。
光度距離の定義
見かけの光度が距離の2乗に反比例することから，
$$ f \equiv \frac{L}{4\pi d_L^2}$$
で定義される距離 $d_L$ が光度距離と呼ばれる。
エネルギー流束 $f$ の式を入れると
\begin{eqnarray}
A^2 \omega^2 &=& \frac{L}{4\pi d_L^2} \\
\therefore \ \ A \omega d_L &=& \sqrt{\frac{L}{4\pi}} = \mbox{const.}\\
\frac{d}{dv} \left(A \omega d_L \right) &=& 0 \\
\therefore \ \ \frac{d}{dv}\left( \omega d_L\right) &=& -\frac{1}{A} \frac{dA}{dv} \left( \omega d_L\right) \\
&=& \theta \left( \omega d_L\right)
\end{eqnarray}
光源における振動数を $\omega_e$ とすると，共動観測者が観測する振動数 $\omega$ は赤方偏移 $z$ を使って以下のように書ける。
$$\omega = \frac{\omega_e}{1+z}$$
これを使うと，光度距離を決める式は
$$\frac{d}{dv}\left( \frac{d_L}{1+z}\right) = \theta\left( \frac{d_L}{1+z}\right)$$
FLRW 宇宙における光度距離
FLRW 時空において，
- アフィンパラメータ $v = 0$，時刻 $\eta(0) = \eta$ に
- 動径座標 $\chi(0) = 0$ で
- 赤方偏移 $z$ の光源天体から動径方向に放出された
- 振動数 $\omega_e$ の光を，
- アフィンパラメータ $v = v_0$，時刻 $\eta(v_0) = \eta_0$ に
- 動径座標 $\chi(v_0) = \chi$ で
- 4元速度 $u^{\mu}$ の共動観測者が振動数 $\omega$ の光として観測する
として，その際の光度距離 $d_L$ を求める。
まず，動径方向に伝播するヌル測地線の解
$$k^{\mu} = (k^0, k^1, 0, 0) = \left(\frac{\omega_c}{a^2}, \frac{\omega_c}{a^2}, 0, 0\right)$$を使うと，
\begin{eqnarray}
k^{\mu}_{\ \ ;\mu} &=& \frac{1}{\sqrt{-g}}\left( \sqrt{-g} k^{\mu}\right)_{, \mu} \\
&=& \frac{1}{a^4\sigma^2} \left\{(a^4 \sigma^2 k^0)_{, 0} + (a^4 \sigma^2 k^1)_{, 1} \right\}\\
&=& \frac{1}{a^2 \sigma^2} \left\{k^0 (a^2\sigma^2)_{,0} + k^1 (a^2\sigma^2)_{,1} \right\}\\
&=& \frac{1}{a^2 \sigma^2} \frac{d}{dv} (a^2\sigma^2) \\
&=& \frac{2}{a \sigma} \frac{d}{dv} (a \sigma)
\end{eqnarray}
となり，これから光度距離を決める式は
$$\frac{1}{\left( \frac{d_L}{1+z}\right)} \frac{d}{dv} \left( \frac{d_L}{1+z}\right) = \frac{1}{a \sigma} \frac{d}{dv} (a \sigma)$$
これはただちに積分できて，積分定数 $C$ を使って
$$\frac{d_L(v)}{1+z} = C \, a(\eta(v))\, \sigma(\chi(v))$$
となる。$d_A$ の場合と同様に，積分定数 $C$ は，後の結果を使って
$$ d_L \simeq \frac{1}{H_0} z\quad\mbox{for}\ \ |z| \ll 1$$
となるように $C=1$ と選んでおこう。アフィンパラメータ $v$ と座標 $\eta, \, \chi$ の関係は，$v = 0$ で$\eta(0) = \eta, \, \chi(0) = 0$，$v = v_0$ で $\eta(v_0) = \eta_0, \, \chi(v_0) = \chi$ となるようにとるので，
\begin{eqnarray}
d_L(v_0) &=& (1 + z) a(\eta_0) \sigma(\chi)\\
&=& (1 + z) \frac{a_0}{a(\eta)} a(\eta)\sigma(\chi)\\
&=& (1 + z)^2 d_A
\end{eqnarray}
すなわち，光度距離 $d_L$ は角径距離 $d_A$ に $(1+z)^2$ をかけたものになる。