タイトルそのままの話。荒木田君への私信。Arakida & Kasai 2012 (AK) では，Kottler での曲がり角の計算の詳細を端折ったけど，ちゃんとやるとどうなるか，という話。 続きを読む
Category: 相対論・宇宙論
宇宙論的赤方偏移を共形時間を使わずに導く
このページとか，このページとかでは共形時間 (conformal time) \(\eta\) で表した FLRW 計量
$$ ds^2 = a^2(\eta) \Bigl\{-d\eta^2 + d\chi^2 + \sigma(\chi)^2 (d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2) \Bigr\} $$
を使ったが，通常の時間座標 (cosmic time) \(t\) で表した FLRW 計量
$$ ds^2 = -dt^2 + g_{ij} \,dx^i dx^j = -dt^2 + a^2(t) \left\{\frac{dr^2}{1- k r^2} + r^2 (d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right\}$$
を使っても膨張宇宙における宇宙論的赤方偏移が
\begin{eqnarray}
\omega &=& – k_{\mu} u^{\mu} \\
&=& – k_0\, u^0 = \frac{\omega_c}{a} \propto \frac{1}{a(t)}
\end{eqnarray}
のようになることを示す。（これは授業の練習問題。） 続きを読む
横ドップラー効果を別の立場からみると「真横」ではないという話
特殊相対論においては，光源・観測者間の相対速度がゼロの瞬間であっても，観測される光の振動数の変化が起こる。特殊相対論特有のこの効果は「横ドップラー効果」と呼ばれる。横ドップラー効果の原因としては，光源の時間の進み方が特殊相対論的効果によって遅れるからだ，などという説明があるが…
球対称な3次元空間は必ず共形平坦か？
定曲率3次元空間は共形平坦であることは簡単に証明できそうだが，球対称な3次元空間は必ず共形平坦か，証明できそうにない。どっかにそういう定理とか，ありますかねぇ。 続きを読む
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