ミルン宇宙の計量を
\begin{eqnarray}
ds^2
&=&-dt^2 + t^2 \left(d\chi^2 +\sinh^2 \chi (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \right)
\end{eqnarray}
と書いたときには，以下の簡単な座標変換でミンコフスキー計量になるいうことは別ページに書いた。
\begin{eqnarray}
r &\equiv& t \sinh \chi \\
\tau &\equiv& t \cosh \chi
\end{eqnarray}
以下は授業の練習問題として出したもの。
ミルン宇宙の計量は，一様等方な空間部分を以下のように表すこともできる。
$$ds^2 = -dt^2 + t^2 \left(\frac{dr^2}{1 + r^2} + r^2 d\Omega^2 \right) $$
これを座標変換することによって，以下のようなミンコフスキー計量になることを示す。
$$ds^2 = -d\tau^2 +dR^2 + R^2 d\Omega^2$$
座標変換は
\begin{eqnarray}
R &\equiv& t\, r \\
\tau &\equiv& t\, \sqrt{1 + r^2}
\end{eqnarray}
微分して
\begin{eqnarray}
dR &=& r dt + t dr \tag{1}\\
d\tau &=& \sqrt{1 + r^2} \,dt + t \frac{r}{\sqrt{1 + r^2}} dr \tag{2}
\end{eqnarray}
\(\displaystyle (2) – (1)\times \frac{r}{\sqrt{1+r^2}} \) から
$$d\tau – \frac{r}{\sqrt{1 + r^2}} dR =\frac{1}{\sqrt{1 + r^2}} dt$$
\(\displaystyle (1) – (2)\times \frac{r}{\sqrt{1+r^2}} \) から
$$dR – \frac{r}{\sqrt{1 + r^2}} d\tau =\frac{t}{1 + r^2} dr$$
これらを代入して
\begin{eqnarray}
ds^2 &=& -dt^2 + t^2 \left(\frac{dr^2}{1 + r^2} + r^2 d\Omega^2 \right) \\
&=& – \left(1 + r^2\right) \left(d\tau – \frac{r}{\sqrt{1 + r^2}} dR\right)^2 + \left(1 + r^2\right) \left( dR – \frac{r}{\sqrt{1 + r^2}} d\tau\right)^2 + R^2 d\Omega^2 \\
&=&-d\tau^2 +dR^2 + R^2 d\Omega^2
\end{eqnarray}