ケプラー運動の真近点離角 $\phi$ と離心近点離角 $u$ との関係については，Memo「ケプラー運動の時間平均を真近点離角の積分で求める」にまとめた。木下宙著「天体と軌道の力学」によれば，
\begin{eqnarray}
\tan \phi
&=& \frac{\sqrt{1-e^2} \sin u}{\cos u – e}
\end{eqnarray}
あるいは，半角表示で
\begin{eqnarray}
\tan \frac{\phi}{2} &=& \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{u}{2}
\end{eqnarray}
これをもう少し別の角度から見てみようという話。
木下宙著「天体と軌道の力学」2.6節では，ケプラー運動している天体の軌道量の時間平均（すなわち時間積分）を，ケプラー方程式を満たす離心近点離角 $u$ （や平均近点離角 $l$） の積分に置き換えて計算している。
これを（一般相対論的な運動への適用を念頭において）真近点離角 $\phi$ のみの積分でやってみる。
「万有引力の2体問題の運動方程式を数値的に解く前の下ごしらえ ver. 2」で下ごしらえした式を Python で数値的に解く。
「万有引力の2体問題の運動方程式を数値的に解く前の下ごしらえ ver. 2」で下ごしらえした式を Maxima で数値的に解く。 Continue reading
「万有引力の2体問題の運動方程式を数値的に解く前の下ごしらえ」の改良版。変数の規格化をもう少しシンプルに。
万有引力の2体問題（は結局1体問題に帰着するんだけど）の運動方程式を数値的に解く前の下ごしらえ。闇雲な初期条件からはじめるのではなく，そもそも数値計算しなくても楕円になることはわかっているのだから，ルンゲ・クッタ法なりを使って数値的に解く前に，それなりの下ごしらえをしておこう。
「楕円軌道上の時刻ごとの位置を求めるための下ごしらえ」で下ごしらえした式を Python で数値的に解く。
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「楕円軌道上の時刻ごとの位置を求めるための下ごしらえ」で下ごしらえした式を Maxima で数値的に解く。
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楕円軌道は $r(\phi)$ で表されるので，$\phi$ を $t$ の関数として数値的に求めるための下ごしらえ。 Continue reading
「万有引力の2体問題の運動方程式を数値的に解く前の下ごしらえ」で下ごしらえした運動方程式を Maxima で Runge-Kutta 法を使って数値的に解くという話。