gnuplot を関数電卓として使う例。何も gnuplot (や Maxima) でなくても $\sqrt{x}$ と $\tanh^{-1} x$ ができればいいです。

Planck 2018 の宇宙論パラメータ

Planck 2018 results の宇宙論パラメータは以下の通り。

\begin{eqnarray}
H_0 &=& (67.4 \pm 0.5) \ \mbox{km/s/Mpc} \\
\Omega_{\rm m} &=& 0.315 \pm 0.007 \\
\Omega_{\Lambda} &=& 1 – \Omega_{\rm m}
\end{eqnarray}

宇宙年齢

$\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} = 1$ すなわち $k = 0$ の場合の宇宙年齢はここに書いているように

$$t_0 = \frac{2}{3}\frac{1}{H_0} \times \frac{\tanh^{-1} \sqrt{1-\Omega_{\rm m} }}{\sqrt{1-\Omega_{\rm m} }}$$

パーセクの定義とハッブル定数

ハッブル定数は歴史的経緯もあり，単位が $\mbox{km/s/Mpc}$ となっている。
$\mbox{Mpc} = 10^6 \mbox{pc}$ を $\mbox{m}$ で表して，単位をそろえる必要がある。

こちらにまとめているように

$$1 \mbox{pc} \equiv \frac{\mbox{au}}{\theta} = \frac{648000}{\pi} \mbox{au}$$

だから…

In [1]:

au = 149597870700
pc = 648000/pi * au
Mpc = pc * 1E6
km = 1E3

H0 = 67.4 * km/Mpc

f(Omega) = atanh(sqrt(1-Omega))/sqrt(1-Omega)

okunen = 60*60*24*365.25*1E8

t0 = 2./(3 * H0) * f(0.315)/okunen

print sprintf("宇宙年齢は %.0f 億年", t0)

Out[1]:

宇宙年齢は 138 億年

臨界密度

$$\rho_{\rm cr}\equiv \frac{3 H_0^2}{8\pi G}$$

物質密度

$$\rho = \rho_{\rm cr} \Omega_{\rm m}$$

万有引力定数

$$G = 6.674 \times 10^{-11} \, \frac{\mbox{m}^3}{\mbox{kg}\cdot\mbox{s}^2}$$

In [2]:

Omega = 0.315
G = 6.674E-11

rhoc = 3*H0**2/(8*pi*G)

print sprintf("臨界密度は  %8.3g (kg/m^3)", rhoc)
print sprintf("宇宙空間の物質密度は  %8.3g (kg/m^3)", rhoc * Omega)

Out[2]:

臨界密度は  ???e-?? (kg/m^3)
宇宙空間の物質密度は  ???e-?? (kg/m^3)

演習

現在の宇宙空間の物質密度は次のうちのどれに最も近いか。

$1\,\mbox{cm}^3$ に電子が数個程度
$1\,\mbox{cm}^3$ に陽子が数個程度
$1\,\mbox{m}^3$ に電子が数個程度
$1\,\mbox{m}^3$ に陽子が数個程度
$1\,\mbox{km}^3$ に電子が数個程度
$1\,\mbox{km}^3$ に陽子が数個程度

参考

陽子 – Wikipedia によれば，陽子の質量は $1.672621898(21) \times 10^{-27}\,\mbox{kg}$
電子 – Wikipedia によれば，電子の質量は $9.1093837015(28)\times 10^{−31} \,\mbox{kg}$

Planck 2018 results から gnuplot で宇宙年齢と宇宙空間の物質密度を計算する