パーセクの定義に $1$ 秒角の $\tan$ がいらなくなったという話。
Wikipedia 日本語版におけるパーセクの定義
(いずれ修正されると思うので,あくまで本日閲覧時点での) Wikipedia 日本語版におけるパーセクの定義は以下の通り。
1秒角をラジアンで表した角度 $\theta$ は
\begin{eqnarray}
\theta &=& \frac{\pi}{180\times 60 \times 60} = \frac{\pi}{648000} \\
\frac{\mbox{au}}{\mbox{pc}} &=& \tan\theta \\
\therefore\ \ 1\,\mbox{pc} &\equiv& \frac{\mbox{au}}{\tan\theta}= \frac{\mbox{au}}{\tan\frac{\pi}{648000}}
\end{eqnarray}
Wikipedia 英語版におけるパーセクの定義
Wikipedia 英語版におけるパーセクの項では,採択された IAU 2015 Resolution B2 に従い,厳密に
$$1 \mbox{pc} \equiv \frac{\mbox{au}}{\theta} = \frac{648000}{\pi} \mbox{au}$$
としている。つまりは $|\theta| \ll 1$ のとき $\tan\theta \simeq \theta$ なので,いっそのこと,$\tan\theta$ の項を $\theta$ としてしまえ,ということ。
「1 パーセク (pc) とは,1 au の弧の長さを見込む中心角が1秒角となるときの半径の長さである」という具合に解釈できる。
Wikipedia 英語版におけるパーセクの項では小数点以下16桁つまり全部で17桁の数値で 1 パーセクの値を表しているが,Maxima の float()
では 16 桁までなので,以下では bfloat()
を使って 17 桁(fpprec: 17$
)まで表示させている。
/* 念のため */ kill(m, h)$
fpprec: 17$
fpprintprec: 0$
/* 天文単位は定義値 m */
au: 149597870700 * m$
pc: 648000/bfloat(%pi)*au;
$\tan\theta$ のまま計算すると,小数点以下11桁目から誤差が出てきます。
fpprec: 17$
fpprintprec: 0$
au: 149597870700 * m$
pc: au/tan(bfloat(%pi)/648000);
ハッブル定数・ハッブル年齢
ハッブル定数は歴史的経緯もあり,単位が $\mbox{km/s/Mpc}$ となっている。
$$H_0 = 100 h \,\frac{\mbox{km}}{\mbox{s} \cdot \mbox{Mpc}}
= 100 h \, \frac{\mbox{km}}{\mbox{Mpc}} \cdot \mbox{s}^{-1}$$
つまり,$1 \,\mbox{Mpc}$ を $\mbox{m}$ で表した値を Mpc
とすると…
/* H0 の精度は,せいぜいこのくらい */
fpprintprec: 4$
au: 149597870700 * m$
/* Mpc だから 1E6 pc で,km だから 1E3 m。*/
Mpc: 648000/float(%pi) * au * 1E6$
km: 1E3 * m$
H0: 100 * h * km/(s * Mpc);
この値の逆数が秒で表したハッブル年齢となる。「億年」単位に変換すると…
/* 1億年を秒で表す */
okunen: 60*60*24*365.25*1E8 * s$
print(1/H0/okunen, "億年")$
/* Planck 2018 の値を使うと... */
h: 0.674$
print("H0 = ", 100*h, "のときハッブル年齢は", 1/ev(H0)/okunen, "億年")$
/* Hubble (1929) の値を使うと... */
h: 4.239$
print("H0 = ", 100*h, "のときハッブル年齢は", 1/ev(H0)/okunen, "億年")$