運動している時計の遅れのおさらい
特殊相対論における「運動している時計の遅れ」ページの内容のおさらい。\(c = 1\) とする。
4元速度 \(\boldsymbol{u}\) の（静止）観測者 \(A\) に対して，速さ \(V\) で \(\boldsymbol{e}\) 方向に運動している4元速度 \(\bar{\boldsymbol{u}}\) の観測者 \(B\) の時計が \(T_0\) だけ時を刻む。この同じ現象を4元速度 \(\boldsymbol{u}\) の観測者 \(A\) が測定すると，\(A\) が測定する時間 \(T\) は
$$ T = – T_0\, \bar{\boldsymbol{u}}\cdot\boldsymbol{u}$$
となる。4元速度の合成則
$$\bar{\boldsymbol{u}} = \frac{\boldsymbol{u} + V \boldsymbol{e}}{\sqrt{1 – V^2}}$$
を使うと，
\begin{eqnarray} T &=& – T_0\, \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} \left(\boldsymbol{u} + V \boldsymbol{e}\right) \cdot \boldsymbol{u}\\
&=& \frac{T_0}{\sqrt{1-V^2}} \quad(\because \ \boldsymbol{u} \cdot\boldsymbol{u} = -1, \ \boldsymbol{e} \cdot \boldsymbol{u} = 0)
\end{eqnarray}
したがって，$$T_0 = T \sqrt{1-V^2}, \quad \therefore T_0 < T$$
となり，観測者 \(A\) からみると運動している観測者 \(B\) の時計がゆっくり進んでいるようにみえる。
キモとなるのは，ローレンツ因子 \(\gamma\) が二人の観測者の4元速度の内積で表されること，つまり
$$\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 – V^2}} = – \bar{\boldsymbol{u}}\cdot\boldsymbol{u}$$