シュバルツシルト時空において,
- \(r = r_i\) に静止している時計の進みを \(\Delta t_i\)
- \(r = r_i\) から初速度ゼロで動径方向に自由落下運動している時計の,動径座標 \(r (< r_i)\) における進みを \(\Delta \bar{t}\)
- 動径座標 \(r (< r_i)\)に静止している時計の進みを \(\Delta t\)
とする。
このとき, \(r = r_i\) から自由落下していく時計の進み \(\Delta \bar{t}\) と, \(r = r_i\) に静止し続けている時計の進み \(\Delta t_i\) の比 \(\displaystyle \frac{\Delta \bar{t}}{\Delta t_i}\) はどうなるか,という話。
異なる地点に静止している時計の進みの比
まず, 異なる地点に静止している時計の進み方の比は,既に説明したように
$$\frac{\Delta t}{\Delta t_i} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}} $$
ローレンツ因子
次に,同じ動径座標 \(r\) に静止している時計の進み \(\Delta t\) と,速さ \(V\) で運動している時計の進み \(\Delta \bar{t}\) は,特殊相対論の場合と同様に一般相対論的状況下においても,ローレンツ因子の逆数である \(\sqrt{1 – V^2}\) だけ異なるはずである。(\(c = 1\))
静止観測者からみた,動径方向に自由落下する観測者に関するローレンツ因子 \(\gamma\) は
$$\gamma\equiv \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}$$
であったから,
$$ \frac{\Delta \bar{t}} {\Delta t} = \sqrt{1 – V^2} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}}$$
静止観測者からみた自由落下する時計の進み
ということで,最終的には
$$ \frac{\Delta \bar{t}}{\Delta t_i} = \frac{\Delta t}{\Delta t_i} \frac{\Delta \bar{t}} {\Delta t} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}} \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}}
= \frac{1 – \frac{r_g}{r}}{1 – \frac{r_g}{r_i}}$$
\(r = r_i \gg r_g\) に静止している観測者からみていると,自由落下する時計が \(r \rightarrow r_g\) と \(r_g\) に近づくにつれて,時計の進み \(\Delta \bar{t}\) はだんだん小さく・ゆっくりになり \(\Delta \bar{t} \rightarrow 0\) となっていく。