ほぼ楕円運動する観測者の時間の進み方

シュバルツシルト時空中の観測者の運動

参考：「シュバルツシルト時空中の粒子の運動」

重力以外の力を受けずに重力場中を運動する観測者（テスト粒子）は測地線上を運動する。

シュバルツシルト時空は球対称であるため，一般性を失うことなく運動を赤道面上 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}$ に制限できる。この条件のもと，測地線を解いた結果，運動する観測者の 4元速度 $\bar{u}^{\mu}$ は

$$\bar{u}^{\mu} = \left(\frac{\epsilon}{1-\frac{r_g}{r}}, u^1, 0, \frac{\ell}{r^2}\right)$$

規格化条件 $g_{\mu\nu} \bar{u}^{\mu} \bar{u}^{\nu} = -1$ より

$$\left(\bar{u}^1\right)^2 = \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \epsilon^2 -\left( 1-\frac{r_g}{r}\right) \left( 1 + \frac{\ell^2}{r^2}\right)$$

シュバルツシルト時空において，

$r = r_1\ (=R)$ （地上を想定）に静止している時計の進みを $\varDelta \tau_1$
動径座標 $r \ (> R)$に静止している時計の進みを $\varDelta \tau$
動径座標 $r \ (> R)$ 地点を運動する時計の進みを $\varDelta \bar{\tau}$

とする。

このとき，運動する時計の進み $\varDelta \bar{\tau}$ と，地上 $r = r_1 ( = R)$ に静止し続けている時計の進み $\varDelta \tau_1$ の比 $\displaystyle \frac{\varDelta \bar{\tau}}{\varDelta \tau_1}$ はどうなるか，という話。

異なる地点に静止している時計の進みの比

参考：「重力場中の異なる地点での時間の進み方」

まず，異なる地点に静止している時計の進み方の比は，既に説明したように

$$\frac{\varDelta \tau}{\varDelta \tau_1} = \frac{\sqrt{1 -\frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 -\frac{r_g}{r_1}}} $$

ローレンツ因子

参考：「ローレンツ因子」
参考：「運動している時計の遅れ」

次に，同じ動径座標 $r$ に静止している時計の進み $\varDelta \tau$ と，速さ $V$ で運動している時計の進み $\varDelta \bar{\tau}$ は，特殊相対論の場合と同様に一般相対論的状況下においても，ローレンツ因子の逆数である $\sqrt{1 -V^2}$ だけ異なるはずである。（$c = 1$）

$ u^{\mu}$ の静止観測者からみた，$ \bar{u}^{\mu}$ で運動する観測者に関するローレンツ因子 $\gamma$ は

\begin{eqnarray}
\gamma\equiv \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} &\equiv& -u_{\mu} \bar{u}^{\mu} \\
&=& -g_{00} u^0 \bar{u}^0 \\
&=& \left(1-\frac{r_g}{r}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}}}\cdot
\frac{\epsilon}{1-\frac{r_g}{r}} \\
&=& \frac{\epsilon}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}}}
\end{eqnarray}

であるから，

$$ \frac{\varDelta \bar{\tau}} {\varDelta \tau} = \sqrt{1 -V^2} = \frac{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}}}{\epsilon}$$

運動する観測者の時間の進み

ということで，最終的には

$$ \frac{\varDelta \bar{\tau}}{\varDelta \tau_1} =
\frac{\varDelta \tau}{\varDelta \tau_1} \frac{\varDelta \bar{\tau}} {\varDelta \tau} =
\frac{\sqrt{1 -\frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 -\frac{r_g}{r_1}}} \frac{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}}}{\epsilon}
=
\frac{1 -\frac{r_g}{r}}{\epsilon \sqrt{1 -\frac{r_g}{r_1}}} $$

円軌道の場合

参考：「シュバルツシルト時空中を円運動する観測者」
参考：「円運動する観測者の時間の進み方」

特に円軌道の場合には，

$$\epsilon = \frac{1-\frac{r_g}{r}}{\sqrt{1 -\frac{3}{2}\frac{r_g}{r}}}$$

であり，これを代入すると，

$$\frac{\varDelta \bar{\tau}}{\varDelta \tau_1} = \frac{\sqrt{1 -\frac{3}{2}\frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 -\frac{r_g}{r_1}}}$$

円軌道でない場合

円軌道でない場合は，$r_g$ の1次までの近似で，ほぼ楕円軌道（厳密には閉じた楕円軌道にはならずに近点移動するが近点と遠点は存在する）であることが知られている。

したがって，4元速度の規格化条件

$$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \epsilon^2 -\left( 1-\frac{r_g}{r}\right) \left( 1 + \frac{\ell^2}{r^2}\right)$$

から，$r = r_{\rm max}, \ r = r_{\rm min}$ で $\displaystyle \frac{dr}{d\tau} = 0$ となることから

\begin{eqnarray}
0 &=& \epsilon^2 -\left( 1-\frac{r_g}{r_{\rm max}}\right) \left( 1 + \frac{\ell^2}{r_{\rm max}^2}\right) \\
0 &=& \epsilon^2 -\left( 1-\frac{r_g}{r_{\rm min}}\right) \left( 1 + \frac{\ell^2}{r_{\rm min}^2}\right)
\end{eqnarray}

$r_g$ の1次までの近似で $\epsilon$ について解くと，

$$\epsilon \simeq 1 -\frac{r_g}{2\left(r_{\rm min} + r_{\rm max} \right)} \equiv 1 -\frac{r_g}{4 a}$$

ここで

$$a \equiv \frac{r_{\rm min} + r_{\rm max}}{2}$$

はニュートン理論における軌道長半径に対応する。

これを代入すると，時間の進みは

\begin{eqnarray}
\frac{\varDelta \bar{\tau}}{\varDelta \tau_1} &\simeq&
\frac{1}{\sqrt{1 -\frac{r_g}{r_1}}}\left(1 -\frac{r_g}{r}\right)\left(1 + \frac{r_g}{4 a}\right) \\
&\simeq& \frac{1}{\sqrt{1 -\frac{r_g}{r_1}}}\left(1 + \frac{r_g}{4 a} -\frac{r_g}{r}\right)
\end{eqnarray}

円軌道でない場合は，$r$ も時々刻々とかわるので時間の進みも一定ではない。しかし，時間の進みに関して $r_g$ の1次までの近似であれば，$r$ はニュートン理論の結果（楕円軌道）を使えばよい。

特に，1回転の間の時間平均をとると

参考「ケプラー運動の時間平均」

$$\left\langle \frac{1}{r}\right\rangle = \frac{1}{a}$$

であるので

\begin{eqnarray}
\left\langle \frac{\varDelta \bar{\tau}}{\varDelta \tau_1}\right\rangle &=&
\frac{1}{\sqrt{1 -\frac{r_g}{r_1}}}\left(1 + \frac{r_g}{4 a} -r_g\left\langle\frac{1}{r}\right\rangle\right)\\
&=& \frac{1}{\sqrt{1 -\frac{r_g}{r_1}}}\left(1 -\frac{3}{4} \frac{r_g}{a}\right) \\
&\simeq& \frac{\sqrt{1 -\frac{3}{2} \frac{r_g}{a}}}{\sqrt{1 -\frac{r_g}{r_1}}}
\end{eqnarray}

これを円軌道の場合と比べてみると…

さて，これはこれでおもしろいとして，$\epsilon$ について $r_g$ の1次までの近似解を使った理由は何かを考える。

1つは，一般相対論的な測地線方程式は，円軌道でない一般的な場合は厳密に解くことができず，せいぜい $r_g$ の1次（程度）までの近似解しか知られていないからである。

もうひとつは，$\epsilon$ （と $\ell$）を厳密に解くのはめんどうなので，とりあえず近似解でやっておこうという省エネ主義。

しかし，軌道が厳密には解けないとしても，時間の遅れにかかわるのは $\epsilon$ であるから，これを厳密に求めることは可能である。これが次の話になり，以下のページにちょっとまとめている。

シュバルツシルト時空の原点のまわりの有界な（束縛）運動

特に，円運動以外であっても，一般的な有界運動（束縛運動）の場合には，$\epsilon$ は厳密に求めることができる。これがあなたの第1の目的なんですよ。

だから，話の順番としては

重力場中を運動する時計の遅れは（$r_1$ はなんだと説明するのが面倒だから，$r_1 \rightarrow \infty$ として以下のように表記を変更して・あわせて）

$$d\tau = dt \, \frac{1 -\frac{r_g}{r}}{\epsilon}$$

円軌道のときには $\epsilon$ が厳密に解けて

$$\epsilon = \frac{1-\frac{r_g}{r}}{\sqrt{1 -\frac{3}{2}\frac{r_g}{r}}}$$

したがって

$$d\tau = dt \, \sqrt{1 -\frac{3}{2}\frac{r_g}{r}}$$

円軌道でない場合は厳密には解けないが $r_g$ の1次までの近似解として