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ほぼ楕円運動する観測者の時間の進み方

シュバルツシルト時空中の観測者の運動

重力以外の力を受けずに重力場中を運動する観測者(テスト粒子)は測地線上を運動する。

シュバルツシルト時空は球対称であるため,一般性を失うことなく運動を赤道面上 θ=π2 に制限できる。この条件のもと,測地線を解いた結果,運動する観測者の 4元速度 u¯μ

u¯μ=(ϵ1rgr,u1,0,r2)

規格化条件 gμνu¯μu¯ν=1 より

(u¯1)2=(drdτ)2=ϵ2(1rgr)(1+2r2)

シュバルツシルト時空において,

  • r=r1 (=R) (地上を想定)に静止している時計の進みを Δτ1
  • 動径座標 r (>R)に静止している時計の進みを Δτ
  • 動径座標 r (>R) 地点を運動する時計の進みを Δτ¯

とする。

このとき,運動する時計の進み Δτ¯ と,地上 r=r1(=R) に静止し続けている時計の進み Δτ1 の比 Δτ¯Δτ1 はどうなるか,という話。

異なる地点に静止している時計の進みの比

まず, 異なる地点に静止している時計の進み方の比は,既に説明したように

ΔτΔτ1=1rgr1rgr1

ローレンツ因子

次に,同じ動径座標 r に静止している時計の進み Δτ と,速さ V で運動している時計の進み Δτ¯ は,特殊相対論の場合と同様に一般相対論的状況下においても,ローレンツ因子の逆数である 1V2 だけ異なるはずである。(c=1

uμ の静止観測者からみた,u¯μ で運動する観測者に関するローレンツ因子 γ

γ11V2uμu¯μ=g00u0u¯0=(1rgr)11rgrϵ1rgr=ϵ1rgr

であるから,

Δτ¯Δτ=1V2=1rgrϵ

 

運動する観測者の時間の進み

ということで,最終的には

Δτ¯Δτ1=ΔτΔτ1Δτ¯Δτ=1rgr1rgr11rgrϵ=1rgrϵ1rgr1

円軌道の場合

特に円軌道の場合には,

ϵ=1rgr132rgr

であり,これを代入すると,

Δτ¯Δτ1=132rgr1rgr1

円軌道でない場合

円軌道でない場合は,rg の1次までの近似で,ほぼ楕円軌道(厳密には閉じた楕円軌道にはならずに近点移動するが近点と遠点は存在する)であることが知られている。

したがって,4元速度の規格化条件

(drdτ)2=ϵ2(1rgr)(1+2r2)

から,r=rmax, r=rmindrdτ=0 となることから

0=ϵ2(1rgrmax)(1+2rmax2)0=ϵ2(1rgrmin)(1+2rmin2)

rg の1次までの近似で ϵ について解くと,

ϵ1rg2(rmin+rmax)1rg4a

ここで

armin+rmax2

はニュートン理論における軌道長半径に対応する。

これを代入すると,時間の進みは

Δτ¯Δτ111rgr1(1rgr)(1+rg4a)11rgr1(1+rg4argr)

円軌道でない場合は,r も時々刻々とかわるので時間の進みも一定ではない。しかし,時間の進みに関して rg の1次までの近似であれば,r はニュートン理論の結果(楕円軌道)を使えばよい。

特に,1回転の間の時間平均をとると

1r=1a

であるので

Δτ¯Δτ1=11rgr1(1+rg4arg1r)=11rgr1(134rga)132rga1rgr1

これを円軌道の場合と比べてみると…

さて,これはこれでおもしろいとして,ϵ について rg の1次までの近似解を使った理由は何かを考える。

1つは,一般相対論的な測地線方程式は,円軌道でない一般的な場合は厳密に解くことができず,せいぜい rg の1次(程度)までの近似解しか知られていないからである。

もうひとつは,ϵ (と )を厳密に解くのはめんどうなので,とりあえず近似解でやっておこうという省エネ主義。

しかし,軌道が厳密には解けないとしても,時間の遅れにかかわるのは ϵ であるから,これを厳密に求めることは可能である。これが次の話になり,以下のページにちょっとまとめている。

特に,円運動以外であっても,一般的な有界運動(束縛運動)の場合には,ϵ は厳密に求めることができる。これがあなたの第1の目的なんですよ。

だから,話の順番としては

  • 重力場中を運動する時計の遅れは(r1 はなんだと説明するのが面倒だから,r1 として以下のように表記を変更して・あわせて)

dτ=dt1rgrϵ

  • 円軌道のときには ϵ が厳密に解けて

ϵ=1rgr132rgr

したがって

dτ=dt132rgr

  • 円軌道でない場合は厳密には解けないが rg の1次までの近似解として

ϵ1rg2(rmin+rmax)1rg4a

  • これを代入すると

dτdt(1rgr)(1rg4a)1dt(1rgr+rg4a)

  • 1周期平均すると…

 

  • 円軌道でない場合にも有界な軌道の場合には rminrmax を使って ϵ は厳密に書けて…
  • 時間の遅れは … と書ける!
  • 特に rg の1次まで展開すると,以前の結果を再現するので,今回我々が求めた式は以前の結果を特別な場合として含んだ,一般的な式になっている。
  • ここで興味があるのは,たとえば rg の2次までの展開はどうなっているのか,特に rg の1次までは,時間の遅れは楕円軌道の軌道長半径 a に相当する量だけで書かれていた。高次の場合はどうなるのだろうか?