内山龍雄著「一般相対性理論」（裳華房）等，多くのテキストに書かれている解法例として，シュバルツシルト時空中の測地線方程式を，解の形を
$$s \equiv \frac{1}{r} \equiv \frac{1 + e \cos \left(\gamma\, \phi\right)}{L}$$
のように決め打ちにして解く方法についてまとめておく。
なお，内山本では表記を
$$u \equiv \frac{1}{r} = \frac{1}{l} \left\{ 1 + e \cos (\eta\, \varphi)\right\}$$
としてるが，本サイトの変数使用例に鑑み，変数を少し変えて
$$s \equiv \frac{1}{r} \equiv \frac{1 + e \cos \left(\gamma\, \phi\right)}{L}$$
としている。定数 $L$ については，
$$ r_{\rm min} \equiv \frac{L}{1 + e} \leq r \leq \frac{L}{1 – e} \equiv r_{\rm max}$$
となることから，
\begin{eqnarray}
r_{\rm min} &\equiv& a ( 1 -e) \\
r_{\rm max} &\equiv& a ( 1 + e) \\
\therefore\ \ a &=& \frac{1}{2} (r_{\rm min} + r_{\rm max})
\end{eqnarray}
で導入される変数 $a$ を使うと
$$L = a (1 -e^2)$$
と書ける。$\gamma = 1$ のとき，軌道は楕円となり，$a$ は軌道長半径，$e$ は離心率と呼ばれるようになる。$\gamma \neq 1$ であれば一般には閉じた楕円軌道とならないため，$a, e$ を軌道長半径や離心率と呼ぶことはできない。
測地線方程式
さて，$\displaystyle s \equiv \frac{1}{r}$ とすると，「シュバルツシルト時空中の粒子（観測者）の運動」のページにまとめたように（適宜移項して）
\begin{eqnarray}
\left( \frac{ds}{d\phi} \right)^2 +s^2 -\frac{2GM}{\ell^2} s + \frac{c^2 -\epsilon^2 c^2}{\ell^2} &=& r_g\, s^3
\end{eqnarray}
この上記のように，解の形を決め打ちにして解いてみる。左辺は
\begin{eqnarray}
\mbox{左辺} &=& \left(- \frac{e \gamma \sin (\gamma\,\phi)}{L}\right)^2 \\
&& + \left(\frac{1 + e \cos \left(\gamma\, \phi\right)}{L} \right)^2 \\
&& -\frac{2GM}{\ell^2} \frac{1 + e \cos \left(\gamma\, \phi\right)}{L} + \frac{c^2 -\epsilon^2 c^2}{\ell^2} \\
&=& \frac{e^2 \gamma^2}{L^2} \left\{ 1 – \cos^2 \left(\gamma\, \phi\right)\right\} \\
&& + \frac{1}{L^2} \left\{1 + 2 e \cos(\gamma\,\phi) + e^2 \cos^2 (\gamma\,\phi) \right\} \\
&& -\frac{2GM}{\ell^2 L} \left\{ 1 + e \cos (\gamma\,\phi)\right\} + \frac{c^2 -\epsilon^2 c^2}{\ell^2}
\end{eqnarray}
右辺は
\begin{eqnarray}
\mbox{右辺} &=& \frac{r_g}{L^3} \left\{1 + 3 e \cos (\gamma\,\phi) + 3 e^2 \cos^2 (\gamma\,\phi) + e^3 \cos^3 (\gamma\,\phi) \right\}
\end{eqnarray}
両辺の $\cos (\gamma\,\phi)$ の各べきの係数を比較すると，$\cos (\gamma\,\phi)$ のゼロ次，つまり定数項は
\begin{eqnarray}
\frac{e^2 \gamma^2}{L^2} + \frac{1}{L^2} -\frac{2GM}{\ell^2 L} + \frac{c^2 -\epsilon^2 c^2}{\ell^2} &=& \frac{r_g}{L^3} \tag{1}
\end{eqnarray}
$\cos (\gamma\,\phi)$ の1次の項の係数は
\begin{eqnarray}
\frac{2 e}{L^2} -\frac{2 G M e}{\ell^2 L} &=& \frac{3 e r_g}{L^3} \tag{2}
\end{eqnarray}
$\cos (\gamma\,\phi)$ の2次の項の係数は
\begin{eqnarray}
-\frac{e^2 \gamma^2}{L^2} + \frac{e^2}{L^2} &=& \frac{3 e^2 r_g}{L^3} \tag{3}
\end{eqnarray}
$\cos (\gamma\,\phi)$ の3次の項の係数は
\begin{eqnarray}
0 &=& \frac{e^3 r_g}{L^3} \tag{4}
\end{eqnarray}
このままでは左辺に $\cos^3(\gamma\,\phi)$ の項がないために両辺がつりあわなくなるため，（苦し紛れに）「$e^3 r_g$ の項は小さいので無視する」と宣言する。近点移動を表す $\gamma$ を求めるだけならこれでもよいが，この綻びは，つまりは $r_g$ の1次までの完全な線形近似解は，上記のように決め打ちした形では完全には表せないことを意味している。（ではどのような形になるのかは別途「弱重力場中の粒子の軌道の近似解の別解法」にまとめていました。）
$r_g$ のゼロ次解：ニュートン近似
右辺の $r_g$ を含む項を無視すると，ニュートン近似の解が得られる。それらの解を添字 ${}_0$ をつけて表すと，まず (3) 式から
\begin{eqnarray}
-\frac{e^2 \gamma_0^2}{L^2} + \frac{e^2}{L^2} &=& 0 \\
\therefore\ \ \gamma_0 &=& 1
\end{eqnarray}
ニュートン近似での $r$ の解 $r_0$ は
$$r_0 = \frac{L}{1 + e \cos (\gamma_0\,\phi) }= \frac{a (1 -e^2)}{1 + e \cos\phi }$$
また，(2) 式から
\begin{eqnarray}
\frac{2 e}{L^2} -\frac{2 G M e}{\ell_0^2 L} &=& 0 \\
\therefore\ \ \ell_0^2 &=& GM L = G M a (1 -e^2)
\end{eqnarray}
(1) 式からは
\begin{eqnarray}
\frac{e^2 \gamma_0^2}{L^2} + \frac{1}{L^2} -\frac{2GM}{\ell_0^2 L} + \frac{c^2 -\epsilon_0^2 c^2}{\ell_0^2} &=& 0 \\
\therefore\ \ \epsilon_0^2 c^2 &=& c^2 -\frac{GM}{a}
\end{eqnarray}
$r_g$ の1次解
今度は右辺の $r_g$ の項を無視せずに，$r_g$ の1次までの近似で計算すると，(3) 式から
\begin{eqnarray}
-\frac{ \gamma^2}{L^2} + \frac{1}{L^2} &=& \frac{3 r_g}{L^3} \\
\therefore\ \ \gamma^2 &=& 1 -\frac{3 r_g}{L} = 1 -\frac{3 r_g}{a (1 -e^2)} \\
\therefore\ \ \gamma &=& \sqrt{1 -\frac{3 r_g}{a (1 -e^2)} } \simeq 1 -\frac{3 r_g}{2 a (1 -e^2)}
\end{eqnarray}
近点移動角 $\varDelta$ は
\begin{eqnarray}
\gamma \times (2 \pi + \varDelta) &=& 2 \pi \\
\therefore\ \ \varDelta &=& \frac{2 \pi}{\gamma} -2 \pi \\
&\simeq& \frac{3 \pi r_g}{a (1-e^2)} = \frac{6 \pi G M}{ c^2 a (1 -e^2)}
\end{eqnarray}
(2) 式からは，
\begin{eqnarray}
\frac{1}{L} -\frac{ GM}{\ell^2} &=& \frac{3 r_g}{2 L^2} \\
\therefore\ \ \frac{ GM}{\ell^2} &=& \frac{1}{L} -\frac{3 r_g}{2 L^2} \\
&=& \frac{1}{a (1 -e^2)} -\frac{3 r_g}{2 a^2 (1 -e^2)^2}
\end{eqnarray}
さらに，(2) 式と (1) 式から $\displaystyle \frac{ GM}{\ell^2}$ を消去して $\displaystyle \frac{\epsilon^2 c^2 -c^2}{\ell^2}$ について解くと，
\begin{eqnarray}
\frac{\epsilon^2 c^2 -c^2}{\ell^2} &=& -\frac{1}{L} + \frac{e^2 \gamma^2}{L^2} + \frac{2 r_g}{L^3} \\
&=& -\frac{1}{a^2 (1 -e^2)} + \frac{2 r_g}{a^3 (1 -e^2)^2} – \frac{e^2 \, r_g}{a^3 (1 -e^2)^3}
\end{eqnarray}
実は $\displaystyle \frac{ GM}{\ell^2}$ と $\displaystyle \frac{\epsilon^2 c^2 -c^2}{\ell^2}$ は以下のようになることが厳密にわかっている。（「弱重力場中の粒子の軌道の近似解：近点移動」などのページにまとめている。）
\begin{eqnarray}
\frac{GM}{\ell^2} &=& \frac{1}{a (1 -e^2)} – \frac{(3 + e^2) r_g}{2 a^2 (1 -e^2)^2} \\
\frac{\epsilon^2 c^2 -c^2}{\ell^2} &=& -\frac{1}{a^2 (1 -e^2)} + \frac{2 r_g}{a^3 (1 -e^2)^2}
\end{eqnarray}
したがって，この解の形を決め打ちで解く方法では，$e^3\, r_g$ の項を無視したのはもちろんだが，首尾一貫しているためには $e^2\, r_g$ の項も無視しないといけないことになる。