ニュートンの運動方程式から，ケプラー運動する（ケプラーの法則に従った運動をする）天体にはどのような力が働いているのかを調べ，万有引力の法則を導く。
ケプラーの法則のおさらい
ケプラーの法則を式であらわすと，
第1法則
太陽の位置を原点としたときの惑星の（相対）位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ は
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{r} &=& (x, y, 0) \\
&=& (r \cos\phi, r\sin\phi, 0) \\
r &=& \frac{a\,(1-e^2)}{1 + e\cos\phi}
\end{eqnarray}
第2法則
$$\frac{1}{2} r^2 \dot{\phi} = \mbox{const.} = \frac{\pi a^2 \sqrt{1-e^2}}{T}$$
第3法則
$\displaystyle \frac{a^3}{T^2}$ は惑星によらない定数。
ケプラー運動する天体の速度ベクトル
さきに $\dot{r}$ を求めておく。
\begin{eqnarray}
r &=& \frac{a\,(1-e^2)}{1 + e \cos\phi} \\
\dot{r} &=& – \frac{a\,(1-e^2)}{(1+e \cos\phi)^2} \left( – e \sin\phi\ \dot{\phi}\right) \\
&=& \frac{e \sin\phi}{a\,(1-e^2)} \, r^2 \dot{\phi}
\end{eqnarray}
これを使うと，速度 $\dot{\boldsymbol{r}} = (\dot{x}, \dot{y}, 0)$ は
\begin{eqnarray}
\dot{x} &=& \left( r \cos\phi \right)^{\dot{}}\\
&=& \dot{r} \cos\phi – r \sin\phi\ \dot{\phi} \\
&=& \frac{e \sin\phi}{a\,(1-e^2)} \, r^2 \dot{\phi}\, \cos\phi – \frac{\sin\phi}{r} \ r^2 \dot{\phi} \\
&=& – \frac{\sin\phi}{a\, (1-e^2)} \ r^2 \dot{\phi}
\end{eqnarray}
同様にして
\begin{eqnarray}
\dot{y} &=& \frac{e + \cos\phi}{a \, (1-e^2)} \ r^2 \dot{\phi}
\end{eqnarray}
ケプラー運動する天体の加速度ベクトル
$r^2 \dot{\phi}$ が一定であることを使って加速度 $\ddot{\boldsymbol{r}} = (\ddot{x}, \ddot{y}, 0)$ は
\begin{eqnarray}
\ddot{x} &=& – \frac{\cos\phi\ \dot{\phi}}{a \, (1-e^2)} \ r^2 \dot{\phi} \\
&=& – \frac{r \cos\phi}{a \, (1-e^2)} \cdot \left(r^2 \dot{\phi}\right)^2 \cdot \frac{1}{r^3} \\
&=& – \frac{4\pi a^3}{T^2} \frac{x}{r^3}\\
&\equiv& – K \frac{x}{r^3}
\end{eqnarray}
ケプラーの第3法則によって，$K$ は惑星によらない定数。同様にして
\begin{eqnarray}
\ddot{y} &=& – K \frac{y}{r^3}
\end{eqnarray}
ベクトル形で書くと
\begin{eqnarray}
\ddot{\boldsymbol{r}} &=& – K \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}
\end{eqnarray}
ケプラー運動する天体にはたらく力
運動方程式から，質量 $m$ の惑星にはたらく力 $\boldsymbol{F}$ は
$$ \boldsymbol{F} = m \ddot{\boldsymbol{r}} = – K m \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}$$
定数 $K$ は太陽質量 $M$ に比例するとして，比例定数を $G$ と書くと，めでたく万有引力の法則
$$\boldsymbol{F} =- \frac{G M m \ \boldsymbol{r}}{r^3}$$
が得られた。