シュバルツシルト時空
球対称かつ真空 (\(T^{\mu\nu} = 0\)) 解がシュバルツシルト解であった。導出については以下も参照：
線素は，
$$ ds^2 = -\left(1-\frac{r_g}{r}\right) c^2 dt^2 + \frac{dr^2} {1-\frac{r_g}{r}} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$
ここで \(\displaystyle r_g \equiv \frac{2 G M}{c^2} \) はシュバルツシルト半径または重力半径と呼ばれる。
上記によって，座標系は以下のようにとっていること
$$x^{\nu} = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (c t, r, \theta, \phi)$$
および，計量テンソル \(g_{\mu\nu}\) のゼロでない成分は
\begin{eqnarray}
g_{00} &=& -\left(1-\frac{r_g}{r}\right) \\
g_{11} &=& \frac{1} {1-\frac{r_g}{r}}\\
g_{22} &=& r^2\\
g_{33} &=& r^2 \sin^2\theta
\end{eqnarray}
であることがわかるのであった。
測地線方程式
保存量がわかりやすい以下の形を使う。
$$\frac{d u_{\nu}}{d\tau} = \frac{1}{2} g_{\lambda\mu, \nu} u^{\lambda} u^{\mu}$$
この式から，一般に計量テンソルの成分 \(g_{\lambda\mu} \) が \(x^{\nu} \) 依存性をもたない場合は，
$$ g_{\lambda\mu, \nu} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{d u_{\nu}}{d\tau} = 0 \quad\Rightarrow\quad u_{\nu} = \mbox{const.} $$となり \(u_{\nu} \) 成分が保存量となることがわかるのであった。
また4元速度の規格化条件は，
$$ \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{u} = g_{\mu\nu} u^{\mu} u^{\nu} = -c^2 $$
であった。
\(u^0\) の解
シュバルツシルト計量の成分は \(x^0 = t\) を含まないので，\(u_0\) が保存量となる。この量を \(-\epsilon\) とすると，
\begin{eqnarray}
u_0 = g_{0\mu} u^{\mu} &=& g_{00} u^0 = \mbox{const.} \equiv -\epsilon c\\
\therefore \ \ u^0 &=& \frac{c\,dt}{d\tau} = \frac{-\epsilon c}{g_{00}} = \frac{\epsilon c}{1 – \frac{r_g}{r}} \\
\therefore \ \ \frac{dt}{d\tau} &=& \frac{\epsilon}{1 – \frac{r_g}{r}}
\end{eqnarray}
\(u^3\) の解
また，シュバルツシルト計量の成分は \( x^3 = \phi\) も含まないので，\(u_3\) が保存量となる。この量を \(\ell\) とすると，
\begin{eqnarray}
u_3 = g_{3\mu} u^{\mu} &=& g_{33} u^3 = \mbox{const.} \equiv \ell \\
\therefore \ \ u^3 &=& \frac{\ell}{g_{33}} = \frac{\ell}{r^2 \sin^2\theta}
\end{eqnarray}
\(u^2\) は初期条件から
\( \displaystyle u^2 = \frac{d x^2}{d\tau} = \frac{d\theta}{d\tau} \) については，
$$ \frac{du_{2}}{d\tau} =\frac{d}{d\tau} \left( g_{22} \frac{d\theta}{d\tau}\right) = \frac{d}{d\tau} \left( r^2 \frac{d\theta}{d\tau}\right) = \frac{1}{2} g_{33, 2} u^3 u^3$$ より
$$ \frac{d}{d\tau}\frac{d\theta}{d\tau} + \frac{2}{r} \frac{dr}{d\tau} \frac{d\theta}{d\tau} = \frac{\ell^2 \cos\theta}{r^2 \sin^3\theta}$$を得る。
初期条件として固有時間 \(\tau \) がある値 \(\tau=0\) のとき，
$$\displaystyle \theta(0) = \frac{\pi}{2}, \quad \frac{d\theta}{d\tau}\Biggr|_0 = 0 $$
とすると，\(\displaystyle \frac{d}{d\tau}\frac{d\theta}{d\tau}\Biggr|_{0} = 0 \) となり，常に \( \displaystyle \frac{d\theta}{d\tau} = 0 \) とすることができるので，この初期条件を採用し，
$$ \theta = \frac{\pi}{2}, \quad u^2 = \frac{d\theta}{d\tau} = 0$$とする。このことは
球対称性により，一般性を失うことなく
赤道面上 \( \displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}\) に運動を制限できる
ことを初期値問題として示したものである。
\(u^1\) は規格化条件から
さて，これまでのところ，わかったのは
$$ u^0 = \frac{\epsilon c}{1 – \frac{r_g}{r}}, \quad u^2 = 0 \ \left( \theta = \frac{\pi}{2}\right), \quad
u^3 = \frac{\ell}{r^2 \sin^2\theta} = \frac{\ell}{r^2}$$
残りの \(\displaystyle u^1 = \frac{dr}{d\tau} \) については，規格化条件より
\begin{eqnarray}
-c^2 &=& g_{\mu\nu} u^{\mu} u^{\nu} \\
&=& g_{00} \left(u^0\right)^2 + g_{11} \left(u^1\right)^2 + g_{33} \left(u^3\right)^2 \\
&=& – \left(1-\frac{r_g}{r}\right) \left( \frac{\epsilon c}{1 -\frac{r_g}{r}}\right)^2 + \frac{1}{1 -\frac{r_g}{r}}\left( \frac{dr}{d\tau}\right)^2 + r^2 \left( \frac{\ell}{r^2}\right)^2 \\ \ \\
\therefore\ \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 &=& \epsilon^2 c^2 -c^2 + \frac{r_g c^2}{r} -\frac{\ell^2}{r^2}
+r_g\frac{\ell^2}{r^3}\\
&=& \epsilon^2 c^2 -c^2 + \frac{2 G M}{r} -\frac{\ell^2}{r^2}
+r_g\frac{\ell^2}{r^3}
\end{eqnarray}
円運動の場合や動系方向の自由落下運動のような，簡単な場合はこの方程式が使える。それ以外の一般的な運動（ニュートン力学では一般的な楕円運動にあたる）の場合は，これをもう少し変形して解きやすい形にしておいたほうがよいだろう。
$$\frac{dr}{d\tau} = \frac{d\phi}{d\tau} \frac{dr}{d\phi} = \frac{\ell}{r^2} \frac{dr}{d\phi}$$ であるから，
$$\left( \frac{1}{r^2} \frac{dr}{d\phi} \right)^2 = \frac{\epsilon^2 c^2 -c^2}{\ell^2} + \frac{2GM}{\ell^2} \frac{1}{r} -\frac{1}{r^2}+ r_g \frac{1}{r^3} $$
求めたい変数 \(r\) が分母にばっかりあらわれるので，いっそのこと
$$\frac{1}{r} \equiv s, \quad -\frac{1}{r^2} \frac{dr}{d\phi} = \frac{ds}{d\phi}$$ と変数変換してやると（なぜ光のときのように \(\displaystyle \frac{1}{r} \equiv u\) としないのかは後でわかってくる… ），
\begin{eqnarray}
\left( \frac{ds}{d\phi} \right)^2 &=& \frac{\epsilon^2 c^2 -c^2}{\ell^2} + \frac{2GM}{\ell^2} s -s^2 + r_g\, s^3\\
&=&\frac{\epsilon^2 c^2 -c^2}{\ell^2} + \left(\frac{GM}{\ell^2}\right)^2 -\left(s -\frac{GM}{\ell^2} \right)^2+ r_g\, s^3
\end{eqnarray}
まとめ：テスト粒子の軌道を決める式
以上をまとめると，シュバルツシルト時空中のテスト粒子の軌道を決める式として用途に応じて2つの表示を準備しておくこととする。
一つ目は，\begin{eqnarray}
\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 &=&\epsilon^2 c^2 -c^2 + \frac{2 G M}{r} -\frac{\ell^2}{r^2}
+r_g\frac{\ell^2}{r^3}
\end{eqnarray}
もう一つは，これを$$\frac{dr}{d\tau} = \frac{d\phi}{d\tau} \frac{dr}{d\phi} = \frac{\ell}{r^2} \frac{dr}{d\phi}, \quad\frac{1}{r} \equiv s$$
として変形した式
$$\left( \frac{ds}{d\phi} \right)^2 =\frac{1}{b^2} -\left(s -\frac{GM}{\ell^2} \right)^2+ r_g\, s^3$$
ここで，
$$\frac{1}{b^2} \equiv \frac{\epsilon^2 c^2 -c^2}{\ell^2} + \left(\frac{GM}{\ell^2}\right)^2$$
とおいた。ニュートン力学における軌道を決める式との類似性に刮目せよ。
どちらの式も，球対称性から一般性を失うことなく赤道面上に運動を制限できることを利用して，
$$\theta = \frac{\pi}{2}$$としている。また，方程式の中に現れる定数 \(\epsilon, \ell\) については既に上で書いているように
$$u^0 = \frac{c dt}{d\tau} = \frac{\epsilon c}{1 – \frac{r_g}{r}}, \quad u^3 = \frac{d\phi}{d\tau} = \frac{\ell}{r^2}$$