観測者の4元速度

4元速度

慣性系 $S$ （その座標を$x^{\mu }=(ct,x,y,z)$ とする）において，2人の観測者 $A,B$ を考える。観測者 $A$ は静止している基準観測者であり，観測者 $B$ は $A$ に対して$+x$ 方向に速さ $V$ で運動している。

$$\begin{array}{rcl}d{s}^2& \equiv & –c^{2}d{\tau }^2\\ & =& {\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }\\ & =& -c^{2}d{t}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2\end{array}$$

のように線素 $d{s}^2$ から固有時間  $\tau$ （の微小変位 $d\tau$）を定義し，4元速度の成分を以下のように定義する。$\tau$ は世界線をパラメトライズするアフィンパラメータなのだが，その話はまたあとで。また，以後簡単のために光速 $c$ を $1$ にすることがしばしばあるが，その場合はなるべく$(\because c\Rightarrow 1)$ などと注記するようにする。

• 観測者 $A$ の世界線を $x^{\mu }(\tau )$, 世界線の接ベクトルである4元速度の成分を
  $$u^{\mu }=\frac{1}{c}\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\Rightarrow \frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }(\because c\Rightarrow 1)$$
• 観測者 $B$ の世界線を ${\overline{x}}^{\mu }(\tau )$, 世界線の接ベクトルである4元速度の成分を
  $${\overline{u}}^{\mu }=\frac{1}{c}\frac{d{\overline{x}}^{\mu }}{d\tau }\Rightarrow \frac{d{\overline{x}}^{\mu }}{d\tau }(\because c\Rightarrow 1)$$

${\overline{x}}^{\mu }$ は別の慣性系での座標ではないことに注意。

慣性系はあくまで $S$ のみ。全ての座標は $x^{\mu }=(ct,x,y,z)$ での値である。本来は観測者 $A$ の世界線を $x_A^{\mu }(\tau )$，観測者$B$ の世界線を $x_B^{\mu }(\tau )$ と書きたいところだが，そうすると4元速度の成分 $u_B^{\mu }$ の下添字バージョンが $u_{B\mu }$ などとなって目がチカチカしやすいので，苦渋の決断で，$u_B^{\mu }\to {\overline{u}}^{\mu }$ と表記することにした。ご了承ください。

また，別セクション（「4次元時空のベクトル・線素・計量テンソル」の項）で説明するように，4元ベクトル $\mathit{u}$ の正式表記を成分 $u^{\mu }$ と基本ベクトル ${\mathit{e}}_{\mu }$ を使って  $\mathit{u}=u^{\mu }{\mathit{e}}_{\mu }$ などと書くことになる。また，4元ベクトル同士の内積は ${\eta }_{\mu \nu }$ で縮約をとることになる。

なので4元ベクトルといったら $\mathit{u}$ であり，$u^{\mu }$ は4元ベクトルの成分，とできるかぎり言い分けることにする。

静止観測者の4元速度

今，観測者 $A$ は $S$ 系では静止しているので，
$$\begin{array}{rcl}\frac{d{x}^i}{dt}& =& (\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt})=(0,0,0)\\ & =& c\frac{d{x}^i}{d{x}^0}=c\frac{u^i}{u^0}\\ \therefore u^i& =& (u^1,u^2,u^3)=(0,0,0)\end{array}$$

また，4元速度 $\mathit{u}$は，以下のように「大きさ」の2乗（自分自身との内積）が $-1$ になっている。

$$\begin{array}{rcl}\mathit{u}\cdot \mathit{u}& =& {\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }=-{\left(u^0\right)}^2\\ & =& {\eta }_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{cd\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{cd\tau }\\ & =& \frac{d{s}^2}{c^{2}d{\tau }^2}\\ & =& -1\end{array}$$

このことから最終的に future-directed $u^0>0$ を仮定して

$$u^{\mu }=(1,0,0,0)$$

運動する観測者の4元速度

一方，観測者 $B$ は速さ$V$ で $+x$ 方向に運動しているので，

$$\begin{array}{rcl}\frac{d{\overline{x}}^i}{d\overline{t}}& =& (\frac{d\overline{x}}{d\overline{t}},\frac{d\overline{y}}{d\overline{t}},\frac{d\overline{z}}{d\overline{t}})=(V,0,0)\\ & =& c\frac{{\overline{u}}^i}{{\overline{u}}^0}\\ \therefore {\overline{u}}^i& =& ({\overline{u}}^1,{\overline{u}}^2,{\overline{u}}^3)=({\overline{u}}^0\frac{V}{c},0,0)\end{array}$$

規格化条件 $\overline{\mathit{u}}\cdot \overline{\mathit{u}}={\eta }_{\mu \nu }{\overline{u}}^{\mu }{\overline{u}}^{\nu }=-{\left({\overline{u}}^0\right)}^2+{\left({\overline{u}}^1\right)}^2=-1$ から最終的に

$$\begin{array}{rcl}{\overline{u}}^{\mu }& =& (\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{V}{c}\right)}^2}},\frac{\frac{V}{c}}{\sqrt{1-{\left(\frac{V}{c}\right)}^2}},0,0)\\ & \Rightarrow & (\frac{1}{\sqrt{1-V^2}},\frac{V}{\sqrt{1-V^2}},0,0)(\because c\Rightarrow 1)\end{array}$$

2人の観測者の4元速度の間の関係式

観測者 $A$ からみた，観測者 $B$ の空間的な運動方向を表す単位ベクトルを $\mathit{e}$，その成分を $e^{\mu }$ とする。

$\mathit{e}$ が空間的であるとは，観測者 $A$ の4元速度 $\mathit{u}$ に直交することであり，

$$\mathit{u}\cdot \mathit{e}={\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{e}^{\nu }=0$$

また，単位ベクトルであるから，
$$\mathit{e}\cdot \mathit{e}={\eta }_{\mu \nu }{e}^{\mu }{e}^{\nu }=1$$

したがって，$e^{\mu }$ は，$u^{\mu }=(1,0,0,0)$ である $S$ 系では以下のように書ける。
$$e^{\mu }=(0,1,0,0)$$

最終的に，観測者 $B$ の4元速度 ${\overline{u}}^{\mu }$ を，観測者 $A$ の4元速度 $u^{\mu }$ と，$A$ に対する $B$ の運動方向を表す $e^{\mu }$ を使って，以下のように書けることがわかる。

$$\begin{array}{rcl}{\overline{u}}^{\mu }& =& (\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{V}{c}\right)}^2}},\frac{\frac{V}{c}}{\sqrt{1-{\left(\frac{V}{c}\right)}^2}},0,0)\\ & =& \frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{V}{c}\right)}^2}}(1,0,0,0)+\frac{\frac{V}{c}}{\sqrt{1-{\left(\frac{V}{c}\right)}^2}}(0,1,0,0)\\ & \Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{1-V^2}}{u}^{\mu }+\frac{V}{\sqrt{1-V^2}}{e}^{\mu }(\because c\Rightarrow 1)\\ \therefore \overline{\mathit{u}}& =& \frac{1}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{u}+\frac{V}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{e}(c=1)\end{array}$$

4元速度の合成則

以下，$c=1$.

一旦ベクトル式で表された上の関係式は，座標系のとりかたによらずに成り立つ。従って，以下の表現が一般に成り立つ。これを（ガリレイ変換に基づく3次元速度の合成則との類似性から）4元速度の合成則と呼ぶことにしよう。（何か，もう少しいい名前があればいいのだが… ）
$$\overline{\mathit{u}}=\frac{1}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{u}+\frac{V}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{e}$$

参考：ガリレイ変換に基づく3次元速度の合成則

参考までに，ニュートン力学において，ガリレイ変換に基づく速度の合成則をまとめておく。

4元ベクトルと区別するために，3次元ベクトルは $\overrightarrow{v}$ のように $\overrightarrow{}$ をつけて書くことにする。

速度 $\overrightarrow{v}$ の物体に対して相対的に速度 $\overrightarrow{V}$ （その大きさを $V$，向きを表す単位ベクトルを $\overrightarrow{e}$ とすると $\overrightarrow{V}=V\overrightarrow{e}$）で運動する物体の速度 ${\overrightarrow{v}}^{\prime }$ は

$${\overrightarrow{v}}^{\prime }=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{V}=\overrightarrow{v}+V\overrightarrow{e}$$
これがガリレイ変換に基づく3次元速度の合成則である。

4元速度の合成則の逆変換

4元速度 $\mathit{u}$ の観測者 $A$ に対して，$\mathit{u}$ に直交する空間的単位ベクトル $\mathit{e}$ の方向に3次元的な相対速度の大きさ $V$ で運動する観測者 $B$ の4元速度 $\mathit{u}$ は

$$\overline{\mathit{u}}=\frac{1}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{u}+\frac{V}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{e}$$

と書け，これを4元速度の合成則と呼ぶのであった。

一方，4元速度 $\overline{\mathit{u}}$ の観測者 $B$ からみると，4元速度 $\mathit{u}$ の観測者 $A$ は，$\overline{\mathit{u}}$ に直交する空間的単位ベクトル $\overline{\mathit{e}}$ のマイナス方向に3次元的な相対速度の大きさ $V$ で運動しているようにみえる。したがって，
$$\mathit{u}=\frac{1}{\sqrt{1-V^2}}\overline{\mathit{u}}-\frac{V}{\sqrt{1-V^2}}\overline{\mathit{e}}$$
と書けるはずである。ここで，$\overline{\mathit{e}}$ は，$\overline{\mathit{u}}$ に直交する空間的単位ベクトルであることから
$$\begin{array}{rcl}\overline{\mathit{u}}\cdot \overline{\mathit{e}}& =& {\eta }_{\mu \nu }{\overline{u}}^{\mu }{\overline{e}}^{\nu }=0\\ \overline{\mathit{e}}\cdot \overline{\mathit{e}}& =& {\eta }_{\mu \nu }{\overline{e}}^{\mu }{\overline{e}}^{\nu }=1\end{array}$$

上記の $\overline{\mathit{u}}=\cdots$ の式を $\mathit{u}=\cdots$ の式に代入して $\overline{\mathit{e}}$ について解くと，以下の式が導かれる。
$$\overline{\mathit{e}}=\frac{1}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{e}+\frac{V}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{u}$$

同様に以下も導くことができる。

$$\mathit{e}=\frac{1}{\sqrt{1-V^2}}\overline{\mathit{e}}–\frac{V}{\sqrt{1-V^2}}\overline{\mathit{u}}$$

まとめ

観測者 $A$ の4元速度: $\mathit{u}$

$\mathit{u}$ に直交する空間的単位ベクトル: $\mathit{e}$
$$\begin{array}{rcl}\mathit{u}\cdot \mathit{e}& =& 0\\ \mathit{e}\cdot \mathit{e}& =& 1\end{array}$$

観測者 $A$ に対して，$\mathit{e}$ 方向に速さ $V$ で運動する観測者 $B$ の4元速度: $\overline{\mathit{u}}$

$\overline{\mathit{u}}$ に直交する空間的単位ベクトル: $\overline{\mathit{e}}$

$$\begin{array}{rcl}\overline{\mathit{u}}\cdot \overline{\mathit{e}}& =& 0\\ \overline{\mathit{e}}\cdot \overline{\mathit{e}}& =& 1\end{array}$$

4元速度の合成則

$$\begin{array}{rcl}\overline{\mathit{u}}& =& \frac{1}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{u}+\frac{V}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{e}\\ \overline{\mathit{e}}& =& \frac{1}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{e}+\frac{V}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{u}\end{array}$$

4元速度の合成則の逆変換

$$\begin{array}{rcl}\mathit{u}& =& \frac{1}{\sqrt{1-V^2}}\overline{\mathit{u}}–\frac{V}{\sqrt{1-V^2}}\overline{\mathit{e}}\\ \mathit{e}& =& \frac{1}{\sqrt{1-V^2}}\overline{\mathit{e}}–\frac{V}{\sqrt{1-V^2}}\overline{\mathit{u}}\end{array}$$

以上の関係は，特殊相対論のみならず一般相対論においても成り立つ。これらは単に，時空の任意の1点における4元ベクトルの足し算引き算である。重力が存在する一般相対論的状況下においても，時空の任意の1点で，観測者 $A$ の瞬間的共動座標系という局所慣性系をとることができ，そこでは特殊相対論における計算が成り立つからである。

ローレンツ因子

最後に一言。

4元速度の合成則およびその逆変換から，ただちに以下のことがわかる。

$$-\mathit{u}\cdot \overline{\mathit{u}}=\mathit{e}\cdot \overline{\mathit{e}}=\frac{1}{\sqrt{1-V^2}}$$

2つの4元速度同士，あるいはそれらに直交する2つの空間的単位ベクトル同士といった，4元ベクトル同士の内積がローレンツ因子 ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-V^2}}}$ を与えることに注意。

ローレンツ因子は（4元ベクトルの内積からつくられる）4次元スカラー量であり，座標系の取り方によらない不変量である！というのがここでの立場である。

時間が遅れたり，棒が縮んたりするのも，すべてこの不変量であるローレンツ因子の影響である！

参考文献

G. F. R. Ellis – Relativistic Cosmology, in “General Relativity and Cosmology” ed. B. K. Sachs (Academic Press, New York, 1971) の P.147 の (6.11a) 式：

$$u_a=\cosh \beta u_a+\sinh \beta e_a,e_a{e}^a=1,e^a{u}_a=0$$

とあり，その下に $V=\tanh \beta$ (原文では $V=\text{tgh}\beta$) と書いてある。これを膨らませて丁寧に書いてみると，上記のような説明になるかと。Ellis のこの式は，誤植なのか左辺と右辺に同じ $u_a$ があって，これなんのこと？と思って自分が納得できるようにかみくだいてみたのがこのページの内容。