線素
光速を一定に保つ座標変換として導入したローレンツ変換は，
- 時刻 \(t\) に点 \(P (x, y, z)\) から出た光が，
- 時刻 \(t+dt\) に近傍の点 \(Q (x + dx, y + dy, z + dz) \) に到達する
際の微小変位
$$ ds^2 \equiv -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 $$
を不変に保つ変換である。（光の場合は $ds^2 = 0$）
さらに，いったん成立したこの不変性は \(PQ\) 間が光が伝播した微小変位である必要はなくても成り立つ。したがって，ここで定義された微小変位 \( ds^2 \) は何か特別な不変性をもつものとしてよく現れるので線素という名前が付けられている。
まとめると，ローレンツ変換とは線素$$ ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 $$
を不変に保つ座標変換である！ということができる。
4次元の添字表記
今後，光速 \( c \) が至る所に現れるので，簡単のため \( c = 1 \) という表記をすることがある。もちろん実際の物理量を数値的に計算するときには，しっかりと \( c \) の値を入れないとだめですよ。
また，4つの座標 \(t, x, y, z\) を表すのに以下のような4次元の添字で表記する。
\begin{eqnarray}
x^0 &\equiv& ct \\
x^1 &\equiv& x\\
x^2 &\equiv& y\\
x^3 &\equiv& z
\end{eqnarray}
また，添字に \( \mu, \nu, \dots\) などのギリシア文字を使う場合，これらは \( 0\) から \(3\) までの全ての数値をとるとする。つまり，\( x^{\mu} \) と書くと，\( \mu \) は\( 0\) から \(3\) までのどれでもとれるので，
\begin{eqnarray}
x^{\mu} &=& (x^0, x^1, x^2, x^3)\\
&=& ( c t, x, y, z)
\end{eqnarray}
の4つの座標を一挙に表す。座標の微小変位についても同様で，
\begin{eqnarray}
dx^{\mu} &=& (dx^0, dx^1,d x^2, dx^3)\\
&=& ( c dt, dx, dy, dz)
\end{eqnarray}
また，次のような4行4列の行列を定義する。
\begin{eqnarray}
\eta_{\mu\nu} &\equiv&
\left( \begin{array}{cccc}
\eta_{00} & \eta_{01} & \eta_{02} & \eta_{03} \\
\eta_{10} & \eta_{11} & \eta_{12} & \eta_{13} \\
\eta_{20} & \eta_{21} & \eta_{22} & \eta_{23} \\
\eta_{30} & \eta_{31} & \eta_{32} & \eta_{33}
\end{array} \right) \\ \ \\
&=&
\left(\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 &0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
すると線素は以下のように書ける。
\begin{eqnarray}
ds^2 &=& \sum_{\mu=0}^{3} \sum_{\nu=0}^{3} \eta_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu} \\ \ \\
&\equiv& \eta_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}
\end{eqnarray}
最後が大事で，上下添字に同じギリシア文字がある場合は \(\displaystyle\sum\) の記号が書いていなくても自動的に \(0\) から\(3\) までの和をとることにする。これをアインシュタインの規約と呼んでいます。このおかげでずいぶんとすっきりした表記になります。
光速不変の原理とは，線素の形が座標系によらないこと，つまり
$$ds^2 = \eta_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu} = \eta_{\mu\nu} \,dx^{\mu’} dx^{\nu’}$$
ということを意味する．ローレンツ変換とは，線素にあらわれるミンコフスキー計量 \(\eta_{\mu\nu}\) を不変に保つ座標変換であり，当然ながら特殊相対論的状況でのみ有効である。
ローレンツ変換を $x^{\mu}$ から $x^{\mu’}$ への座標変換として4次元添字表記で書くと，
\begin{eqnarray}
x^{0’} &=& \frac{x^0 -\frac{V}{c} x^1}{\sqrt{1 -\left(\frac{V}{c}\right)^2}}\\
x^{1’} &=& \frac{x^1 -\frac{V}{c} x^0}{\sqrt{1 -\left(\frac{V}{c}\right)^2}}\\
x^{2’} &=& x^2\\
x^{3’} &=& x^3
\end{eqnarray}
ベクトルの表記
3次元ベクトルは \(\vec{k}\) で表し，アインシュタインの規約を使って
$$\vec{k} = k^i \,\vec{e}_i, \ \ k^i = (k_x, k_y, k_z) \ \ \mbox{あるいは} \ \ \vec{k} = (k_x, k_y, k_z) $$
4元ベクトルは \(\boldsymbol{k}\) で表し，
$$\boldsymbol{k}= k^{\mu} \,\boldsymbol{e}_{\mu}, \ k^{\mu} = (k^0, k^i) = (k^0, \vec{k}) $$
ベクトルの内積
3次元ベクトルの内積は
$$\vec{k}\cdot\vec{k} = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2$$4元ベクトルの内積は（特殊相対論では）
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k} &=& \left(k^{\mu} \boldsymbol{e}_{\mu}\right) \cdot \left(k^{\nu} \boldsymbol{e}_{\nu}\right) \\
&=& \boldsymbol{e}_{\mu}\cdot\boldsymbol{e}_{\nu}\, k^{\mu} k^{\nu} \\
&=& \eta_{\mu\nu} \, k^{\mu} k^{\nu} \\
&=& – \left(k^0\right)^2 + \left(k^1\right)^2 + \left(k^2\right)^2 + \left(k^3\right)^2
\end{eqnarray}
ここまでのまとめ
4次元の添字表記を使い，アインシュタインの規約に従うと，光速不変の原理とは線素
$$ ds^2 = \eta_{\mu\nu} \,dx^{\mu} dx^{\nu} $$
の形が座標系によらないこと意味する。またローレンツ変換とは線素にあらわれるミンコフスキー計量 \(\eta_{\mu\nu}\) を不変に保つ座標変換（つまり \(\eta_{\mu’\nu’} = \eta_{\mu\nu}\) ）である。