光のドップラー効果は，世にあまたある標準的な教科書では，ローレンツ変換を用いて説明されるのであった。ローレンツ変換にもとづいた光のドップラー効果の標準的な説明については，別ページ「光のドップラー効果のおさらい」にまとめてある。
ここでは，このセクションの方針「ローレンツ変換によらない特殊相対論の統一的理解」に則って，ローレンツ変換を使わずに光のドップラー効果の説明を試みる。
「光の4元ベクトル」のページで述べたように，光の伝播を表す4元ベクトル \(\boldsymbol{k}\) は，4元速度 \(\boldsymbol{u}\) の観測者 \(A\) が観測する振動数 \(\omega\) と光の伝播方向を表す空間的単位ベクトル \( \boldsymbol{\gamma}\) を使って，以下のように書けるのであった。$$ \boldsymbol{k} = \omega (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{\gamma}), \quad\omega \equiv – \boldsymbol{k} \cdot\boldsymbol{u} $$
この同じ光，つまり同じ \(\boldsymbol{k}\) で表される光を，観測者 \(A\) に対して速度 \(V \boldsymbol{e} \) で運動する観測者 \(B\) が測定すると，その振動数 \(\bar{\omega}\) は，観測者 \(B\) の4元速度 \(\bar{\boldsymbol{u}}\) を使って以下のように書ける。$$ \bar{\omega} = – \boldsymbol{k}\cdot \bar{\boldsymbol{u}}$$
そして，
$$ \boldsymbol{k} = \bar{\omega} (\bar{\boldsymbol{u}} + \bar{\boldsymbol{\gamma}})$$
となり，\(\bar{\boldsymbol{\gamma}}\) は観測者 \(B\) が観測する光の進行方向を表す空間的単位ベクトルである。
$$ \bar{\boldsymbol{\gamma}}\cdot\bar{\boldsymbol{u}} = 0, \quad \bar{\boldsymbol{\gamma}}\cdot\bar{\boldsymbol{\gamma}} = 1$$
\(A\) とともに静止している光源からの光を運動する観測者 \(B\) が測定する場合
\(\bar{\omega}\) と \(\omega\) の関係は，以下のようにして求めることができる。
\begin{eqnarray}
\omega &=& – \boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{u} \\
&=& -\bar{\omega} (\bar{\boldsymbol{u}} + \bar{\boldsymbol{\gamma}})\cdot \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} (\bar{\boldsymbol{u}} – V \bar{\boldsymbol{e}}) \\
&=& \bar{\omega} \frac{1+V \bar{\boldsymbol{\gamma}}\cdot \bar{\boldsymbol{e}}}{\sqrt{1-V^2}}\\
&=& \bar{\omega} \frac{1+V \cos\bar{\theta}}{\sqrt{1-V^2}}
\end{eqnarray}
ここで，\(\bar{\theta}\) は観測者 \(B\) が観測する，進行方向 \(\bar{\boldsymbol{e}}\) と光の空間的な進行方向 \(\bar{\boldsymbol{\gamma}}\) とのなす角であり，以下のように不変な4元スカラーとして定義される。
$$ \bar{\boldsymbol{\gamma}}\cdot \bar{\boldsymbol{e}} \equiv
\sqrt{\bar{\boldsymbol{\gamma}}\cdot\bar{\boldsymbol{\gamma}}}\sqrt{\bar{\boldsymbol{e}}\cdot\bar{\boldsymbol{e}}} \cos\bar{\theta} = \cos\bar{\theta}$$
$$ (\because \bar{\boldsymbol{\gamma}}\cdot\bar{\boldsymbol{\gamma}}= \bar{\boldsymbol{e}}\cdot\bar{\boldsymbol{e}} =1)$$
これは，2つの3次元ベクトル \(\vec{a}, \ \vec{b}\) の内積が，\(\vec{a}, \ \vec{b}\) のなす角 \(\theta\) を使って以下のように書けるということと全く同じ関係である。$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta$$
したがって，あらためて光源静止系での振動数 \(\omega\) を \(\omega_0\) ，運動する観測者が測定する振動数 \( \bar{\omega}\) を \(\omega_{\rm obs}\) と表記し直すと
$$\omega_{\rm obs} = \omega_0 \frac{\sqrt{1-V^2}}{1+V \cos\bar{\theta}}$$
観測者 \(B\) が光源から遠ざかる場合
\(\bar{\boldsymbol{\gamma}}\) と \(\bar{\boldsymbol{e}}\) は同じ向きなので \(\bar{\theta} = 0\)，従って \(\cos\bar{\theta} = 1\) となり，$$ \omega_{\rm obs}= \omega_0 \frac{\sqrt{1-V^2}}{1+V } = \omega_0 \sqrt{\frac{1-V}{1+V} }< \omega_0 $$
光源から遠ざかる観測者が測定する振動数は，光源静止観測者のそれよりも小さくなる。振動数が下がる，すなわち波長が伸びる。
観測者 \(B\) が光源に近づく場合
\(\bar{\boldsymbol{\gamma}}\) と \(\bar{\boldsymbol{e}}\) は反対向きなので \(\bar{\theta} = \pi\)，従って \(\cos\bar{\theta} = -1\) となり，$$ \omega_{\rm obs} = \omega _0 \frac{\sqrt{1-V^2}}{1-V } = \omega_0 \sqrt{\frac{1+V}{1-V} }> \omega_0 $$
光源に近づく観測者が測定する振動数は，光源静止観測者のそれよりも大きくなる。振動数が上がる，すなわち波長が短くなる。
横ドップラー効果
\(\bar{\boldsymbol{\gamma}}\) と \(\bar{\boldsymbol{e}}\) が直交する場合，\(\bar{\theta}=\pi/2\)，従って\(\cos\bar{\theta} = 0\) となり，$$ \omega_{\rm obs} = \omega_0 {\sqrt{1-V^2}} < \omega_0$$ 光源に対する観測者 \(B\) の相対速度はこの瞬間ゼロ（すなわち光源に向かうあるいは離れる速度成分はゼロ）であるが，振動数の変化が起こる。特殊相対論特有のこの現象は特に「横ドップラー効果」と呼ばれる。
\(B\) とともに運動している光源からの光を静止観測者 \(A\) が測定する場合
\(\bar{\omega}\) と \(\omega\) の関係は，以下のようにして求めることができる。
\begin{eqnarray}
\bar{\omega} &=& – \boldsymbol{k} \cdot\bar{\boldsymbol{u}} \\
&=& -\omega (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{\gamma})\cdot \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} (\boldsymbol{u} + V \boldsymbol{e}) \\
&=& \omega\frac{1-V \boldsymbol{\gamma}\cdot\boldsymbol{e}}{\sqrt{1-V^2}}\\
&=& \omega \frac{1-V \cos\theta}{\sqrt{1-V^2}}
\end{eqnarray}
ここで，\(\theta\) は観測者 \(A\) が測定する光源の進行方向 \(\boldsymbol{e}\) と光の空間的な進行方向 \(\boldsymbol{\gamma}\) とのなす角である。したがって，あらためて光源静止系での振動数 \(\bar{\omega}\) を \(\omega_0\) ，観測者 \(A\) が測定する振動数 \( \omega\) を \(\omega_{\rm obs}\) と表記し直すと
$$\omega_{\rm obs} = \omega_0 \frac{\sqrt{1-V^2}}{1-V \cos\theta}$$
光源が観測者 \(A\) から遠ざかる場合
\(\boldsymbol{e}\) と \(\boldsymbol{\gamma}\) は反対向きなので，\(\theta=\pi\)，したがって \(\cos\theta = -1\) となり，
$$\omega_{\rm obs} = \omega_0 \frac{\sqrt{1-V^2}}{1+V } = \omega_0 \sqrt{\frac{1-V}{1+V}} < \omega_0$$
光源が観測者 \(A\) に近づく場合
\(\boldsymbol{e}\) と \(\boldsymbol{\gamma}\) は同じ向きなので，\(\theta=0\)，したがって \(\cos\theta = 1\) となり，
$$\omega_{\rm obs} = \omega_0 \frac{\sqrt{1-V^2}}{1-V } = \omega_0 \sqrt{\frac{1+V}{1-V}} > \omega_0$$
横ドップラー効果
\(\boldsymbol{e}\) と \(\boldsymbol{\gamma}\) が直交する場合，\(\theta=\pi/2\)，したがって \(\cos\theta=0\) となり，
$$\omega_{\rm obs} = \omega_0\sqrt{1-V^2} < \omega_0$$
観測者 \(A\) に対する光源の相対速度はこの瞬間ゼロ（すなわち，観測者へ向かうあるいは離れる速度成分はゼロ）であるが，振動数の変化が起こる。特殊相対論特有のこの現象は特に「横ドップラー効果」と呼ばれる。
補足：ドップラー効果は相対速度のみで決まるか？
以上のことから，光のドップラー効果は光源が動くか，観測者が動くかが問題になるのではなく，光源と観測者間の相対速度 \(V\) のみによって決まることがわかる。
Wikipedia のドップラー効果の項でも，ドップラー効果は「波（音波や電磁波など）の発生源（音源・光源など）と観測者との相対的な速度の存在によって、波の周波数が異なって観測される現象」であると説明されている。
しかし，これは光については本稿で述べたように当てはまるが，音については当てはまらない。同じ速さ \(v\) であっても，音源が動くのか，観測者が動くのかで答えは異なることに注意。したがって「相対速度」だけで決まるのではない。以下の Memo も参照。
追記：横ドップラー効果について補足
上で述べたように，静止観測者 \(A\) に対する運動光源の相対速度がゼロ，または静止光源に対する運動観測者 \(B\) の相対速度がゼロの瞬間であっても，振動数の変化が起こり，特殊相対論特有のこの現象は特に「横ドップラー効果」と呼ばれるのであったが，思うところあって，以下のようなページも追加して書いてみたので，参考までに。
はじめは，相対速度がゼロの瞬間に「横ドップラー効果」として観測された光は，いつ発射された光なのか，ひょっとして（たぶん）相対速度がある時に発射された光でしょ？という疑いで調べてみたのが，「光行差」という現象も考える必要があるよね，という話になった。