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シュバルツシルト時空中の光の伝播

シュバルツシルト時空

アインシュタイン方程式は,10個の独立な成分を持つ計量テンソル \(g_{\mu\nu}\) を未知関数とした10元連立非線形2階偏微分方程式の形になっている。平たく言えば解析的に解くのがとても難しい。

その中で,球対称かつ真空 (\(T^{\mu\nu} = 0\)) を仮定して得られるアインシュタイン方程式の最も簡単な解が,以下のシュバルツシルト解である。

重力源である天体の外部重力場は(厳密には球対称ではないし,また自転していたりするが… )球対称真空なシュバルツシルト解で記述されてるとしてよいため,簡単かつ最も応用されている解である。本稿でも,着目している天体(太陽とか地球とか)の外部重力場がこの解で記述されるとして話をすすめる。

シュバルツシルト解で表される時空,シュバルツシルト時空計量テンソル,略してシュバルツシルト計量の成分は,線素の中に以下のようにあらわれる。

$$ ds^2 = -\left(1-\frac{r_g}{r}\right) c^2 dt^2 + \frac{dr^2} {1-\frac{r_g}{r}} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$ ここで \(\displaystyle r_g \equiv \frac{2 G M}{c^2} \) はシュバルツシルト半径または重力半径と呼ばれる長さであり,一般相対論的効果が顕著になる重力源からの距離を表している。以後は特に断らない限り,\(c = 1\) とする。

上記のように線素を書くことによって,座標系は以下のようにとっていること
$$x^{\nu} = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (t, r, \theta, \phi)$$
および,計量テンソル \(g_{\mu\nu}\) のゼロでない成分は
\begin{eqnarray}
g_{00} &=& -\left(1-\frac{r_g}{r}\right) \\
g_{11} &=& \frac{1} {1-\frac{r_g}{r}}\\
g_{22} &=& r^2\\
g_{33} &=& r^2 \sin^2\theta
\end{eqnarray}
であり,それ以外の成分は全てゼロであることを一挙に表すことができる。

測地線方程式

球対称真空シュバルツシルト時空は,計量テンソルの成分が時間座標によらない静的な時空でもある。

このような高い対称性を利用するため,保存量がわかりやすいように変形した,以下の測地線方程式を使う。これは \(\nu = 0, 1, 2, 3\) であることから4本の微分方程式となっている。

$$\frac{d k_{\nu}}{dv} = \frac{1}{2} g_{\lambda\mu, \nu} k^{\lambda} k^{\mu}$$

この式から,一般に計量テンソルの成分 \(g_{\lambda\mu} \) が \(x^{\nu} \) 依存性をもたない場合は,
$$ g_{\lambda\mu, \nu} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{d k_{\nu}}{dv} = 0 \quad\Rightarrow\quad  k_{\nu} = \mbox{const.} $$となり \(k_{\nu} \) 成分が保存量となることがわかるのであった。

なお,念のために追記するが,上記のように書き換えた測地線方程式は,シュバルツシルト時空に限らず,一般の時空でも勿論使える。

\(k^0\) の解

シュバルツシルト計量の成分は \(x^0 = t\) を含まないので,\(k_0\) が保存量となる。この量を \(-\omega_c\) とすると,

\begin{eqnarray}
k_0 = g_{0\mu} k^{\mu} &=& \mbox{const.} \equiv -\omega_c \\
\therefore \ \ k^0 &=& \frac{-\omega_c}{g_{00}} = \frac{\omega_c}{1 – \frac{r_g}{r}}
\end{eqnarray}

\(k^3\) の解

また,シュバルツシルト計量の成分は \( x^3 = \phi\) も含まないので,\(k_3\) が保存量となる。この量を \(\ell\) とすると,

\begin{eqnarray}
k_3 = g_{3\mu} k^{\mu} &=& \mbox{const.} \equiv \ell \\
\therefore \ \ k^3 &=& \frac{\ell}{g_{33}} = \frac{\ell}{r^2 \sin^2\theta}
\end{eqnarray}

\(k^2\) は初期条件から

\( \displaystyle k^2 = \frac{d x^2}{dv} = \frac{d\theta}{dv} \) については,

$$ \frac{dk_{2}}{dv} =\frac{d}{dv} \left( g_{22} \frac{d\theta}{dv}\right)  = \frac{d}{dv} \left( r^2 \frac{d\theta}{dv}\right) = \frac{1}{2} g_{33, 2} k^3 k^3$$ より

$$ \frac{d}{dv}\frac{d\theta}{dv} + \frac{2}{r} \frac{dr}{dv} \frac{d\theta}{dv} = \frac{\ell^2 \cos\theta}{r^4 \sin^3\theta}$$を得る。

初期条件としてアフィンパラメータ \(v \) がある値 \(v=0\) のとき,
$$\displaystyle \theta(0) = \frac{\pi}{2}, \quad \frac{d\theta}{dv}\Biggr|_0 = 0 $$
とすると,\(\displaystyle \frac{d}{dv}\frac{d\theta}{dv}\Biggr|_{0} = 0 \) となり,常に \( \displaystyle \frac{d\theta}{dv} = 0 \) とすることができるので,この初期条件を採用し,
$$ \theta = \frac{\pi}{2}, \quad k^2 = \frac{d\theta}{dv} = 0$$とする。

このことは

球対称性により,一般性を失うことなく
赤道面上 \( \displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}\) に運動を制限できる

ことを初期値問題として示したものである。

\(k^1\) はヌル条件から

さて,これまでのところ,わかったのは

$$ k^0 = \frac{\omega_c}{1 – \frac{r_g}{r}}, \quad k^2 = 0  \ \left( \theta =  \frac{\pi}{2}\right), \quad
k^3 = \frac{\ell}{r^2 \sin^2\theta} = \frac{\ell}{r^2}$$

残りの \(\displaystyle k^1 = \frac{dr}{dv} \) については,ヌル条件より

\begin{eqnarray}
0 = \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k} &=& g_{\mu\nu} k^{\mu} k^{\mu} \\
&=& g_{00} \left( k^0 \right)^2 + g_{11} \left(\frac{dr}{dv}\right)^2
+ g_{33} \left(k^3\right)^2 \\
&=& -\left( 1 – \frac{r_g}{r}\right)\left(\frac{\omega_c}{1 – \frac{r_g}{r}} \right)^2
+ \frac{1}{1 – \frac{r_g}{r}} \left(\frac{dr}{dv}\right)^2
+ r^2 \left( \frac{\ell}{r^2}\right)^2
\end{eqnarray}

$$\therefore \ \ \left(\frac{dr}{dv}\right)^2 = \omega_c^2 – \left( 1 – \frac{r_g}{r}\right)\frac{\ell^2}{r^2}$$

\(r(v) \) と \(\phi(v) \) はアフィンパラメータ \(v\) を通して関係づけられているので,\( \displaystyle k^3 = \frac{d\phi}{dv} = \frac{\ell}{r^2} \) を使って

$$ \frac{dr}{dv} = \frac{d\phi}{dv} \frac{dr}{d\phi} = \frac{\ell}{r^2} \frac{dr}{d\phi}$$

$$\therefore \ \ \left(\frac{1}{r^2}\frac{dr}{d\phi}\right)^2 = \left(\frac{\omega_c}{\ell}\right)^2 – \left( 1 – \frac{r_g}{r}\right)\frac{1}{r^2}$$

光の経路を決める式

求めたい変数 \(r\) が分母にばっかりあらわれるので,いっそのこと

$$ \frac{1}{r} \equiv u$$

と変数変換してやると,$$  -\frac{1}{r^2} \frac{dr}{d\phi} = \frac{du}{d\phi}$$であるから,

\begin{eqnarray}
\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2 &=& \left(\frac{\omega_c}{\ell}\right)^2 – (1 – r_g\,u) u^2 \\
&=& \left(\frac{\omega_c}{\ell}\right)^2 – u^2 + r_g \,u^3
\end{eqnarray}

最終的に,これが光の経路を決める式である。