内山龍雄著「一般相対性理論」（裳華房）等，多くのテキストに書かれている解法例として，シュバルツシルト時空中の測地線方程式を，解の形を
$$s \equiv \frac{1}{r} \equiv \frac{1 + e \cos \left(\gamma\, \phi\right)}{L}$$
のように決め打ちにして解く方法についてまとめておく。
なお，内山本では表記を
$$u \equiv \frac{1}{r} = \frac{1}{l} \left\{ 1 + e \cos (\eta\, \varphi)\right\}$$
としてるが，本サイトの変数使用例に鑑み，変数を少し変えて
$$s \equiv \frac{1}{r} \equiv \frac{1 + e \cos \left(\gamma\, \phi\right)}{L}$$
としている。定数 $L$ については，運動が有界な束縛運動であれば，
$$ r_{\rm min} \equiv \frac{L}{1 + e} \leq r \leq \frac{L}{1 – e} \equiv r_{\rm max}$$
となることから，
\begin{eqnarray}
r_{\rm min} &\equiv& a ( 1 -e) \\
r_{\rm max} &\equiv& a ( 1 + e) \\
\therefore\ \ a &=& \frac{1}{2} (r_{\rm min} + r_{\rm max})
\end{eqnarray}
で導入される変数 $a$ を使うと
$$L = a (1 -e^2)$$
と書ける。$\gamma = 1$ のとき，軌道は楕円となり，$a$ は軌道長半径，$e$ は離心率と呼ばれるようになる。$\gamma \neq 1$ であれば一般には閉じた楕円軌道とならないため，厳密には $a, e$ を軌道長半径や離心率と呼ぶことはできない（のであるが，以下の計算のように $r_g$ の1次までの近似では $r_g$ のかかった項のなかの $a$ や $e$ はニュートン理論の $a$ や $e$ としてよいので，この近似の範囲では $a, e$ を軌道長半径や離心率と呼んでもよいことになる）。
測地線方程式
さて，$\displaystyle s \equiv \frac{1}{r}$ とすると，「シュバルツシルト時空中の粒子（観測者）の運動」のページにまとめたように（適宜移項して）
\begin{eqnarray}
\left( \frac{ds}{d\phi} \right)^2 +s^2 -\frac{2GM}{\ell^2} s + \frac{c^2 -\epsilon^2 c^2}{\ell^2} &=& r_g\, s^3 \tag{A}
\end{eqnarray}
あらためて $s$ を書くと，
$$s = \frac{1}{r} = \frac{1 + e \cos \left(\gamma\, \phi\right)}{a (1 -e^2)} \tag{B}$$
であり，このように解の形を決め打ちにして解いてみる。
その前に，$\displaystyle s_{\rm min} = \frac{1}{r_{\rm max}} = \frac{1}{a (1+e)}$ と$\displaystyle s_{\rm max} = \frac{1}{r_{\rm min}} = \frac{1}{a (1 -e)}$ で極値をとるのでこのとき $\displaystyle \frac{ds}{d\phi} = 0$ 。したがって，極値をとる2点において測地線方程式は
\begin{eqnarray}
\left(\frac{1}{a (1 + e)}\right)^2 -\frac{2GM}{\ell^2} \left(\frac{1}{a (1 + e)}\right) + \frac{c^2 -\epsilon^2 c^2}{\ell^2} &=& r_g\, \left(\frac{1}{a (1 + e)}\right)^3 \tag{I}\\
\left(\frac{1}{a (1 -e)}\right)^2 -\frac{2GM}{\ell^2} \left(\frac{1}{a (1 -e)}\right) + \frac{c^2 -\epsilon^2 c^2}{\ell^2} &=& r_g\, \left(\frac{1}{a (1 -e)}\right)^3 \tag{II}
\end{eqnarray}
(I) および (II) 式を連立方程式とすれば，(I) – (II) から
\begin{eqnarray}
\frac{GM}{\ell^2} &=& \frac{1}{a (1 -e^2)} -\frac{(3 + e^2) r_g}{2 a^2 (1 -e^2)^2}
\end{eqnarray}
また，$\mbox{(I)}\times a (1 + e) -\mbox{(II)}\times a (1 -e)$ から
\begin{eqnarray}
\frac{c^2 -\epsilon^2 c^2}{\ell^2} &=& \frac{1}{a^2 (1 -e^2)} -\frac{2 r_g}{a^3 (1 -e^2)^2}
\end{eqnarray}
と解くことができる。
あらためて形決め打ちの解 (B) 式を測地線方程式 (A) に代入すると，左辺は
\begin{eqnarray}
\mbox{左辺} &=& \left(- \frac{e \gamma \sin (\gamma\,\phi)}{a (1 -e^2)}\right)^2 \\
&& + \left(\frac{1 + e \cos \left(\gamma\, \phi\right)}{a (1 -e^2)} \right)^2 \\
&& -\frac{2GM}{\ell^2} \frac{1 + e \cos \left(\gamma\, \phi\right)}{a (1 -e^2)} + \frac{c^2 -\epsilon^2 c^2}{\ell^2} \\
&=& \frac{e^2 \gamma^2}{a^2 (1 -e^2)^2} \left\{ 1 – \cos^2 \left(\gamma\, \phi\right)\right\} \\
&& + \frac{1}{a^2 (1 -e^2)^2} \left\{1 + 2 e \cos(\gamma\,\phi) + e^2 \cos^2 (\gamma\,\phi) \right\} \\
&& -\frac{2GM}{\ell^2 a (1 -e^2)} \left\{ 1 + e \cos (\gamma\,\phi)\right\} + \frac{c^2 -\epsilon^2 c^2}{\ell^2}
\end{eqnarray}
右辺は
\begin{eqnarray}
\mbox{右辺} &=& \frac{r_g}{a^3 (1 -e^2)^3} \left\{1 + 3 e \cos (\gamma\,\phi) + 3 e^2 \cos^2 (\gamma\,\phi) + e^3 \cos^3 (\gamma\,\phi) \right\}
\end{eqnarray}
両辺の $\cos (\gamma\,\phi)$ の各べきの係数を比較すると，$\cos (\gamma\,\phi)$ のゼロ次，つまり定数項は
\begin{eqnarray}
&&\frac{e^2 \gamma^2}{a^2 (1 -e^2)^2} + \frac{1}{a^2 (1 -e^2)^2} \\
&& -2 \left(\frac{1}{a^2 (1 -e^2)^2} -\frac{(3 + e^2) r_g}{2 a^3 (1 -e^2)^3}\right)\\
&& + \frac{1}{a^2 (1 -e^2)} -\frac{2 r_g}{a^3 (1 -e^2)^2} \\
&& = \frac{r_g}{a^3 (1 -e^2)^3} \\
\therefore\ \ 1 -\gamma^2 &=& \frac{3 r_g}{a (1 -e^2)}\tag{1}
\end{eqnarray}
$\cos (\gamma\,\phi)$ の1次の項の係数は
\begin{eqnarray}
\frac{2 e}{a^2 (1 -e^2)^2} -2 e \left(\frac{1}{a^2 (1 -e^2)^2} -\frac{(3 + e^2) r_g}{2 a^3 (1 -e^2)^3}\right)&=& \frac{3 e r_g}{a^3 (1 -e^2)^3} \\
\therefore\ \ \frac{(3 e + e^3) r_g}{a^3 (1 -e^2)^3} &=& \frac{3 e r_g}{a^3 (1 -e^2)^3} \tag{2}
\end{eqnarray}
$\cos (\gamma\,\phi)$ の2次の項の係数は
\begin{eqnarray}
-\frac{e^2 \gamma^2}{a^2 (1 -e^2)^2} + \frac{e^2}{a^2 (1 -e^2)^2} &=& \frac{3 e^2 r_g}{a^3 (1 -e^2)^3} \\
\therefore\ \ 1 -\gamma^2 &=& \frac{3 r_g}{a (1 -e^2)}\tag{3}
\end{eqnarray}
$\cos (\gamma\,\phi)$ の3次の項の係数は
\begin{eqnarray}
0 &=& \frac{e^3 r_g}{a^3 (1 -e^2)^3} \tag{4}
\end{eqnarray}
このままでは左辺に $\cos^3(\gamma\,\phi)$ の項がないために両辺がつりあわなくなるため，（苦し紛れに）「$e^3\, r_g$ の項は小さいので無視する」と宣言する。近点移動を表す $\gamma$ を求めるだけならこれでもよいが，この綻びは，つまりは $r_g$ の1次までの完全な線形近似解は，上記のように決め打ちした形では完全には表せないことを意味している。（ではどのような形になるのかは別途「弱重力場中の粒子の軌道の近似解の別解法」にまとめていました。）
「$e^3\, r_g$ の項は小さいので無視する（ゼロとみなす）」と，(4) 式および (2) 式は $0 = 0$ の恒等式になる。(1) 式と (3) 式は同じ式であり，以下を与える。
\begin{eqnarray}
\gamma^2 &=& 1 -\frac{3 r_g}{a (1 -e^2)} \\
\therefore\ \ \gamma &=& \sqrt{1 -\frac{3 r_g}{a (1 -e^2)} } \simeq 1 -\frac{3 r_g}{2 a (1 -e^2)}
\end{eqnarray}
近点移動角 $\varDelta$ は
\begin{eqnarray}
\gamma \times (2 \pi + \varDelta) &=& 2 \pi \\
\therefore\ \ \varDelta &=& \frac{2 \pi}{\gamma} -2 \pi \\
&\simeq& \frac{3 \pi r_g}{a (1-e^2)} = \frac{6 \pi G M}{ c^2 a (1 -e^2)}
\end{eqnarray}