重力場中の異なる地点での時間の進み方

重力場中の異なる地点，例えば東京スカイツリー展望台と地上の時計の進み方の違いを調べるために，地球の外部重力場は球対称真空なシュバルツシルト時空で記述されてるとして話を進める。（厳密には球対称ではないし，また自転しているが… ）

この実験は，2020年に多くのネットニュースで取り上げられたので検索するといろいろ見つかる。たとえば，（有料記事が多いので無料で全部読める記事を探すと… ）

• • • 東大、スカイツリー展望台と地上で「相対性理論」検証　セシウム原子時計より100倍高精度の「光格子時計」で

光の振動数から定義される時間の進み

4元速度 \(\boldsymbol{u}\) の静止観測者が測定する時間間隔 \(\varDelta \tau\) は，4元ベクトル \(\boldsymbol{k}\) で表される特定の光（電磁波）の振動数 \(\omega\) に反比例するのであった。

$$ \varDelta \tau \propto \frac{1}{\omega}, \quad \omega \equiv – \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{u}$$

シュバルツシルト時空中の静止観測者が観測する光の振動数は，

$$\omega = -k_0\, u^0 = \frac{\omega_c}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}, \quad \omega_c = \mbox{const.}, \ \  r_g \equiv \frac{2GM}{c^2}$$
となり，同じ光源から放たれた同じ光，つまり同じ \(\boldsymbol{k}\) を観測していても，振動数 \(\omega\) は観測者の位置を表す動径座標 \(r\) に依存することになる。

異なる地点における時間の進み方の違い

したがって，地球中心から \(r = r_1\) （地上を想定）に静止している時計の進み \(\varDelta \tau_1\) と， \(r = r_2 > r_1\) （スカイツリー展望台を想定）に静止している時計の進み \(\varDelta \tau_2\) の比は

$$\frac{\varDelta \tau_2}{\varDelta \tau_1} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_2}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_1}}} > 1$$
となり，スカイツリー展望台においた時計の進みのほうがはやいということがわかる。

\(r_2 > r_1\) であるから，重力ポテンシャルの浅いところ・重力ポテンシャルの高い環境であるスカイツリー展望台 \(r = r_2\) のほうが，重力ポテンシャルの深いところ・重力ポテンシャルの低い環境である地上 \(r = r_1\) よりも時間がはやく進むということになる。

どのくらい進むのか，定量的な計算をしてみよう。

以下では，$r_1 = R$, $r_2 = R + h$ （ここで，$R$ は地球半径，$h$ はスカイツリー展望台の高さ）として

$$\frac{\varDelta \tau_2}{\varDelta \tau_1} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{R+h}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{R}}} $$

を$ r_g \ll h \ll R$ であるから，$r_g$ および $h$ について1次までのテイラー展開した式を評価してみる。

Maxima-Jupyter による計算例

Dtratio: sqrt(1-rg/(R + h))/sqrt(1-rg/R);

taylor(Dtratio, rg, 0, 1);
tay1: taylor(%, h, 0, 1);

ans: rg * coeff(tay1, rg, 1);

tay1 - 1;

G: 6.674E-11;
/* 地球質量 */
M: 5.972E24;
/* 光速 */
c: 299792458;

rg: 2*G*M/c**2;

/* 地球半径 */
/* 赤道半径を使うべきかは，悩むところ。*/
/* ちょっと大きめな値を入れていることになるかも。*/
R: 6378E3; 
/* スカイツリー展望台の高さ。思わず 634m と言ってしまいそうだが... */
h: 450;

ans;

/* ev() 関数は Evaluate つまり（数値を入れて）値を出してくれる。*/
ev(ans);

fpprintprec: 3$ /* 16 桁も表示する必要はないので，表示桁を 3桁にする */
print("スカイツリー展望台では，1日あたり", ev(ans) * 24 * 60 * 60, "秒進む。")$