シュバルツシルト時空において，
- \(r = r_i\) に静止している時計の進みを \(\varDelta \tau_i\)
- \(r = r_i\) から初速度ゼロで動径方向に自由落下運動している時計の，動径座標 \(r (< r_i)\) における進みを \(\varDelta \bar{\tau}\)
- 動径座標 \(r (< r_i)\)に静止している時計の進みを \(\varDelta \tau\)
とする。
このとき， \(r = r_i\) から自由落下していく時計の進み \(\varDelta \bar{\tau}\) と， \(r = r_i\) に静止し続けている時計の進み \(\varDelta \tau_i\) の比 \(\displaystyle \frac{\varDelta \bar{\tau}}{\varDelta \tau_i}\) はどうなるか，という話。
異なる地点に静止している時計の進みの比
まず， 異なる地点に静止している時計の進み方の比は，既に説明したように
$$\frac{\varDelta \tau}{\varDelta \tau_i} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}} $$
ローレンツ因子
次に，同じ動径座標 \(r\) に静止している時計の進み \(\Delta t\) と，速さ \(V\) で運動している時計の進み \(\Delta \bar{t}\) は，特殊相対論の場合と同様に一般相対論的状況下においても，ローレンツ因子の逆数である \(\sqrt{1 – V^2}\) だけ異なるはずである。（\(c = 1\)）
静止観測者からみた，動径方向に自由落下する観測者に関するローレンツ因子 \(\gamma\) は
$$\gamma\equiv \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}$$
であったから，
$$ \frac{\varDelta \bar{\tau}} {\varDelta \tau} = \sqrt{1 – V^2} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}}$$
静止観測者からみた自由落下する時計の進み
ということで，最終的には
$$ \frac{\varDelta \bar{\tau}}{\varDelta \tau_i} = \frac{\varDelta \tau}{\varDelta \tau_i} \frac{\varDelta \bar{\tau}} {\varDelta \tau} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}} \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}}
= \frac{1 – \frac{r_g}{r}}{1 – \frac{r_g}{r_i}}$$
\(r = r_i \gg r_g\) に静止している観測者からみていると，自由落下する時計が \(r \rightarrow r_g\) と \(r_g\) に近づくにつれて，時計の進み \(\varDelta \bar{\tau}\) はだんだん小さく・ゆっくりになり \(\Delta \bar{\tau} \rightarrow 0\) となっていく。