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水星の近日点移動

弱重力場中のテスト粒子の軌道

\(r_g\) の1次までの範囲で（ただし，\(O(r_g e^2)\) の項は無視して）求めたテスト粒子の軌道は，以下のように書けることがわかった。

$$r =  \frac{a(1-e^2)}{1 + e \cos(\gamma\phi) }$$

ここで

$$\gamma = \sqrt{ 1 – \frac{3 r_g}{a(1-e^2)}} \simeq 1 – \frac{3 r_g}{2a(1-e^2)}
$$

また，$a$ および $e$ はニュートン理論では楕円の「軌道長半径」および「離心率」に対応するが，一般相対論的な近似解では，閉じた楕円にならないので，厳密には「軌道長半径」とか「離心率」とかなどと呼ぶことはできない。

しかし，軌道が厳密には解けないとしても，運動が有界であれば $r$ が無限大になったりゼロになったりすることなく，原点のまわりを有限の範囲

$$ r_g < r_{\rm min} \le r \le r_{\rm max}$$

で，有界な束縛運動をするハズである。そこで，

\begin{eqnarray}
r_{\rm max} &\equiv& a\,(1+e) \\
r_{\rm min} &\equiv& a\,(1-e)
\end{eqnarray}

として変数 $a$ および $e$ を定義している。

近（日）点移動角

また，$0<\gamma < 1$ であるために，$\phi = 0$ で $r$ が最小値 \(r_{\textrm{min}}\) をとった後，次の最小値となる角度 \(\phi\) は $2\pi$ ラジアンからさらに $\varDelta$ だけ必要である。この現象を近点移動（中心天体が太陽の場合は近日点移動），この角度 $\varDelta$ を近点移動角（中心天体が太陽の場合は近日点移動角）と呼び，以下のようにして求められる。

\begin{eqnarray}
(2\pi + \varDelta) \gamma &=& 2\pi\\
\therefore\ \ \varDelta &=& \frac{2\pi}{\gamma} – 2 \pi\\
&=&\frac{3\pi r_g}{a(1-e^2)} = \frac{6\pi GM}{c^2 a (1-e^2)}
\end{eqnarray}

Maxima-Jupyter での計算例

Maxima で水星の近日点移動

一般相対論的効果により，近日点が1周あたり以下の値だけ移動。

$$ \Delta = \frac{3\pi r_g}{a(1-e^2)} = \frac{6\pi GM}{c^2 a (1-e^2)}$$

では，一般相対論的効果による水星の近日点移動は100年あたり何秒角であるか。

In [1]:
Delta = Delta: 6*%pi*G*M/(c**2 * a * (1-e**2));
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}\Delta=\frac{6\,\pi\,G\,M}{a\,c^2\,\left(1-e^2\right)}\]
In [2]:
/* 万有引力定数 */
G: 6.674E-11$
/* 太陽質量 kg */
M: 1.9891E30$
/* 水星の軌道長半径 m */
a: 57.909E9$
/* 水星の離心率 */
e: 0.2056$
/* 水星の公転周期 年 */
T: 0.241$
/* 光速 m/s */
c: 299792458$
In [3]:
ev(float(Delta));
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}5.020118823036817 \times 10^{-7}\]

ラジアンを秒になおし，100年あたりの公転回数 $\displaystyle \frac{100}{T}$ をかける。

In [4]:
fpprintprec: 3$
print("100年あたり", 
      float(ev(Delta) /%pi * 180 * 60 * 60 * 100/T), "秒角")$
100年あたり \(43.0\) 秒角

Python の SymPy での計算例

Python で水星の近日点移動

一般相対論的効果により，近日点が1周あたり以下の値だけ移動。

$$\Delta = \frac{3\pi r_g}{a(1-e^2)} = \frac{6\pi GM}{c^2 a (1-e^2)}$$

では，一般相対論的効果による水星の近日点移動は100年あたり何秒角であるか。

In [1]:
from sympy.abc import *
from sympy import *
In [2]:
Delta = 6*pi*G*M/(c**2 * a * (1-e**2))
Delta
Out[2]:
$\displaystyle \frac{6 \pi G M}{a c^{2} \cdot \left(1 – e^{2}\right)}$
In [3]:
# 万有引力定数 
G = 6.674E-11
# 太陽質量 kg 
M = 1.9891E30
# 水星の軌道長半径 m 
a = 57.909E9
# 水星の離心率 
e = 0.2056
# 水星の公転周期 年 
T = 0.241
# 光速 m/s 
c = 299792458
In [4]:
Delta = 6*float(pi)*G*M/(c**2 * a * (1-e**2))
Delta
Out[4]:
5.020118823036816e-07

ラジアンを秒角になおし，100年あたりの公転回数 $\displaystyle \frac{100}{T}$ をかける。

In [5]:
print('100年あたり %4.1f 秒' 
      % (Delta/float(pi) * 180 * 60 * 60 * 100/T))

100年あたり 43.0 秒

近点移動のイメージ

 

近点移動のアニメーション例