弱重力場中の粒子の軌道のよろしくない近似解法例がよろしくないのは，「強制振動による共鳴」のような，単調増加する振幅を持つ項が出てくるから，と説明したので，念のため，強制振動と共鳴に関するおさらいを。
調和振動
簡単のために1次元（$x$ 方向）の運動を考える。 フックの法則によって，（つりあいの位置からの）変位 $x$ に比例する復元力 $F = – k\, x$ を受ける質量 $m$ の質点の運動方程式は
$$ m \frac{d^2 x}{dt^2} = -k\, x$$
バネ定数 $k$ を $k \equiv m\, \omega_{0}^{\,2} = m \times (\omega_{0})^2$ とおくと
$$\frac{d^2 x}{dt^2} = -\omega_0^{\,2}\, x$$
このかたちの微分方程式は「最も簡単な定数係数2階微分方程式：続き」で説明していて，ただちに基本解は以下のように求められる。
\begin{eqnarray}
x_1(t) &=& \cos \omega_0\, t \\
x_2(t) &=& \sin \omega_0\, t
\end{eqnarray}
調和振動子の一般解と初期条件
調和振動子の一般解は，2つの基本解の線形結合で書かれて
\begin{eqnarray}
x(t) &=& A\, x_1(t) + B\, x_2(t) \\
&=& A \cos \omega_0\, t + B \sin \omega_0\, t
\end{eqnarray}
2つの積分定数 $A,\ B$ は初期条件から。例えば，$t = 0$ で $x(0) = a,\ \dot{x}(0) = 0$ とすると，
$$ A = a, \quad B = 0$$
と決まり，したがって
$$x(t) = a \cos \omega_0\, t$$
強制振動
フックの法則による復元力以外に，時間的に変動する外力 $F(t)$ が働く場合の運動方程式は，
$$\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_0^{\,2}\, x = \frac{F(t)}{m}$$
特に，外力 $F(t)$ が時間の周期関数
$$F(t) = F_0 \cos \omega\, t \equiv m f_0 \cos \omega\, t $$
である場合は，
$$\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_0^{\,2}\, x = f_0 \cos \omega\, t$$
この形の微分方程式は，（未知関数 $x(t)$ を含む項を全て左辺にもっていっても右辺に残っている）非同次項があるので非同次方程式と呼ばれる。
非同次方程式の特殊解を形決め打ちで求める
強制振動の運動方程式（非同次方程式）の特殊解 $x_s$ の形を
$$x_s(t) = C \cos\omega\, t$$
と決め打ちにして解いてみる。（なんでこう置くかって？こうすると解けるからですよ。はじめから答えを知っているかの如く，解の形を決め打ちするのがしっくりこないあなたのために，ロンスキアンを使った公式で求める一般的方法も以下に説明していますから，そちらもどうぞ。）
\begin{eqnarray}
\frac{d^2 x_s}{dt^2} + \omega_0^{\,2}\, x_s &=& f_0 \cos \omega\, t \\
\left( -\omega^2 + \omega_0^{\, 2}\right) \, C \cos\omega\, t &=& f_0 \cos \omega\, t \\
\therefore\ \ C &=& \frac{f_0}{\omega_0^{\, 2} -\omega^2} \\
\therefore\ \ x_s(t) &=& \frac{f_0}{\omega_0^{\, 2} -\omega^2} \cos\omega\, t
\end{eqnarray}
強制振動の一般解と初期条件
したがって，強制振動の一般解は
\begin{eqnarray}
x(t) &=& A\, x_1(t) + B\, x_2(t) + x_s(t) \\
&=& A \cos\omega_0\, t + B \sin \omega_0\, t + \frac{f_0}{\omega_0^{\, 2} -\omega^2} \cos\omega\, t
\end{eqnarray}
2つの積分定数 $A, B$ は初期条件から。初期条件を $t = 0$ で $x = a, \ \dot{x} = 0$ とすると，
\begin{eqnarray}
A &=& a -\frac{f_0}{\omega_0^{\, 2} -\omega^2} \\
B &=& 0 \\
\therefore\ \ x(t) &=& \left\{ a -\frac{f_0}{\omega_0^{\, 2} -\omega^2} \right\} \cos\omega_0\, t
+ \frac{f_0}{\omega_0^{\, 2} -\omega^2} \cos\omega\, t \\
&=& a \cos\omega_0\, t
+ f_0 \frac{ \cos\omega\, t -\cos\omega_0\, t}{\omega_0^{\, 2} -\omega^2}
\end{eqnarray}
共鳴
$\omega \rightarrow \omega_0$ のとき，$f_0$ を係数とする項は $\displaystyle \frac{0}{0}$ の不定形となるが，（ランダウ-リフシッツ「力学」第22節を参照）ロピタルの定理を使うと（分母・分子を $\omega$ で微分して… ）
\begin{eqnarray}
\lim_{\omega \rightarrow \omega_0} \frac{ \cos\omega\, t -\cos\omega_0\, t}{\omega_0^{\, 2} -\omega^2}
&=& \lim_{\omega \rightarrow \omega_0} \frac{-t\,\sin \omega\, t}{-2 \omega} \\
&=& \frac{t}{2 \omega_0} \sin \omega_0\, t
\end{eqnarray}
$$\therefore\ \ x(t) = a \cos\omega_0\, t + \frac{f_0}{2 \omega_0}\, {\color{red}{t}}\, \sin \omega_0\, t$$
調和振動子の固有振動数 $\omega_0$ と同じ振動数の周期的外力を加えると，振幅が時間 ${\color{red}{t}}$ に比例して単調増加する項が現れる。これを共鳴というのであった。
もちろん，現実世界では振幅が $t$ に比例して無限に増大しつづけることはなくて，いずれ破綻することになる。例えば，フックの法則がやぶれるとか，バネがひきちぎれて壊れてしまうとか…
なお，一部のテキストには（例えばファインマン物理学Ⅰ力学 第21-5節）周期的外力がある場合の強制振動の解は
$$x(t) = A \cos\omega_0\, t + \frac{f_0}{\omega_0^{\, 2} -\omega^2} \cos\omega \, t$$
であり，$\omega = \omega_0$ の場合は分母がゼロになり，振幅が発散する！？などと書いてあるかもしれないが，それはちと言い過ぎであり，上にまとめたように適切に初期条件を設定してやり，ていねいに $\omega \rightarrow \omega_0$ の極限をとってやれば，共鳴現象の解が得られることをここで示しているのであった。
非同次方程式の特殊解を公式を使って求める
非同次方程式の特殊解をロンスキアンを使った公式で求める一般的方法は，2年生の授業で説明している。以下のページを参照：
この公式を使って特殊解 $x_s(t)$ を求めてみよう。面倒ではあるが，解の形を仮定することなく機械的に求められる。
変数が上記のページとは異なるので，あたらめて公式をまとめると
\begin{eqnarray}
x_1(t) &=& \cos\omega_0\, t \\
x_2(t) &=& \sin\omega_0\, t \\
W(t) &\equiv& x_1\, \dot{x}_2 -\dot{x}_1\, x_2 \\
&=& \omega_0 \\
R(t) &=& f_0 \cos\omega\, t \\
x_s(t) &=& x_2(t) \int^t \frac{R(t’) x_1(t’)}{W(t’)} \, dt’ -x_1(t) \int^t \frac{R(t’) x_2(t’)}{W(t’)} \, dt’
\end{eqnarray}
強制振動解 ($\omega \neq \omega_0$)
$\omega \neq \omega_0$ の場合は，公式から
\begin{eqnarray}
x_s(t) &=& \sin \omega_0\,t \cdot \frac{f_0}{\omega_0}\, \int^t \cos\omega\, t’\cdot \cos \omega_0\, t’\ dt’ \\
&& -\cos \omega_0\,t \cdot \frac{f_0}{\omega_0}\, \int^t \cos\omega\, t’\cdot \sin \omega_0\, t’\ dt’ \\
&=& \frac{f_0}{\omega_0} \sin \omega_0\,t
\int^t \frac{1}{2} \left\{\cos (\omega_0+\omega) t’+ \cos (\omega_0-\omega) t’\right\}\, dt’ \\
&& -\frac{f_0}{\omega_0} \cos \omega_0\,t
\int^t \frac{1}{2} \left\{\sin (\omega_0+\omega) t’+ \sin (\omega_0-\omega) t’\right\}\, dt’ \\
&=& \frac{f_0}{2 \omega_0} \sin \omega_0\,t
\left\{\frac{\sin(\omega_0+\omega) t}{\omega_0+\omega} +\frac{\sin(\omega_0-\omega) t}{\omega_0-\omega}\right\} \\
&& + \frac{f_0}{2 \omega_0} \cos \omega_0\,t
\left\{\frac{\cos(\omega_0+\omega) t}{\omega_0+\omega} +\frac{\cos(\omega_0-\omega) t}{\omega_0-\omega}\right\} \\
&=& \frac{f_0}{2 \omega_0}\frac{\cos \omega\, t}{\omega_0+\omega} +
\frac{f_0}{2 \omega_0}\frac{\cos \omega\, t}{\omega_0-\omega} \\
&=& \frac{f_0}{\omega_0^{\, 2} -\omega^2} \cos \omega\,t
\end{eqnarray}
共鳴解 ($\omega = \omega_0$)
$\omega = \omega_0$ の場合も公式をそのまま使って
\begin{eqnarray}
x_s(t) &=& \frac{f_0}{\omega_0} \sin \omega_0\,t
\int^t \frac{1}{2} \left\{\cos 2 \omega_0 t’+ 1\right\}\, dt’ \\
&& -\frac{f_0}{\omega_0} \cos \omega_0\,t
\int^t \frac{1}{2} \left\{\sin 2 \omega_0\, t’+ 0\right\}\, dt’ \\
&=& \frac{f_0}{2 \omega_0} \sin \omega_0\,t \cdot\left\{\frac{\sin 2 \omega_0\,t}{2 \omega_0} + t \right\}
+ \frac{f_0}{2 \omega_0} \cos \omega_0\,t \cdot \frac{\cos 2 \omega_0\,t}{2 \omega_0} \\
&=& \frac{f_0}{4 \omega_0^{\, 2}} \cos \omega_0\,t + \frac{f_0}{2\omega_0}\, {\color{red}{t}}\, \sin\omega_0\, t
\end{eqnarray}
上記の2項のうち，$\displaystyle \frac{f_0}{4 \omega_0^{\, 2}} \cos \omega_0\,t$ は同次方程式の基本解の定数倍であるから，本来は同次方程式の一般解に繰り込まれてしまうべき項である。
そういうわけで，非同次方程式の特殊解としては2項目がそれにあたり，
$$x_s(t) = \frac{f_0}{2\omega_0}\, {\color{red}{t}}\, \sin\omega_0\, t$$
このように，ロンスキアンを使った公式といえども，同次方程式の基本解の定数倍が混じって出てくることもあるので，そのへんは臨機応変に対応するように。