4元速度の下付添字成分である「共変成分」\(u_{\mu} = g_{\mu\nu} u^{\nu}\) に対する測地線方程式
$$\frac{d u_{\mu}}{d\tau} = \frac{1}{2} g_{\alpha\beta, \mu} u^{\alpha} u^{\beta}$$
の導出方法のおさらい。
本サイトの基本方針の確認
「固有時間をアフィンパラメータとする測地線方程式」ページなどをみるとわかるように，本サイトでは共変微分の定義や，計量テンソルの偏微分を使ったクリストッフェル記号の具体的な表記などを使わずに（このへんが私の密かなこだわりだったりするのだが），テスト粒子の世界線 \(x(\tau)\) の接ベクトル \(\boldsymbol{u} = u^{\mu} \boldsymbol{e}_{\mu}\) の下付添字成分（歴史的に「共変ベクトルの成分あるいは単に共変成分」などと呼ばれてきた） \(u_{\mu} \equiv g_{\mu\nu} u^{\nu}\) に対する測地線方程式
$$\frac{d u_{\mu}}{d\tau} = \frac{1}{2} g_{\alpha\beta, \mu} u^{\alpha} u^{\beta}$$
を導き，この式を解いて重力場中の粒子の運動を求めている。測地線方程式をこの形にしておくと，保存量を求めるときに大変便利であることは度々強調しているのだが，世の中にあまたある教科書をみても，ランダウ・リフシッツの「場の古典論」の「§87. 重力場のなかでの粒子の運動」のフットノートに小さいフォントで紹介されている程度で，この形の測地線方程式を積極的に活用する書きぶりがあまり見られないようだ。もし見落としているテキストがありましたら，お手数でもお知らせください。
ここでは，この形の測地線方程式の導出方法について，（私の密かなこだわりはすてて）うちの学科のカリキュラムの関係上封印していた変分原理（最小作用の原理）による導出方法や，偏微分の定義およびクリストッフェル記号の具体的な表記を利用した導出方法についておさらいしておく。
変分原理による導出
ランダウ・リフシッツの「場の古典論」の「§87. 重力場のなかでの粒子の運動」を参考に若干 notation を変えて。（「場の古典論」では，$\displaystyle S = -mc \int ds = -mc^2 \int d\tau$）
重力以外の力を受けないテスト粒子の運動は，作用積分
\begin{eqnarray}
S = – \int d\tau &=& – \int \sqrt{- g_{\alpha\beta}(x) \frac{dx^{\alpha}}{d\tau} \frac{dx^{\beta}}{d\tau}} d\tau \\
&=& – \int \sqrt{- g_{\alpha\beta}(x)\, \dot{x}^{\alpha} \, \dot{x}^{\beta}}\, d\tau
\end{eqnarray}
について \(\delta S = 0\) という変分原理から求められる。運動方程式を求めるだけなら積分の前の負号は必須ではないが，ランダウ・リフシッツ「場の古典論」のように「最小作用の原理」（\(S\) が最小値をとるべし）の立場なら，（測地線にそった固有時間の積分は最大となるので）負号をつける。
一般に
$$\delta S = \delta \int L\left(x, \dot{x} \right) d\tau = 0$$
から得られるオイラー・ラグランジュ方程式
$$\frac{d}{d\tau}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}} \right) – \frac{\partial L}{\partial x^{\mu}} = 0$$
で \(\displaystyle L = – \sqrt{- g_{\alpha\beta}(x) \,\dot{x}^{\alpha}\, \dot{x}^{\beta}} \) として，（実は \(L = -c\) なのだが，それは変分をとったあと，つまり偏微分をした後に \(L = -c\) とする）計算してやると，まずは
\begin{eqnarray}
\frac{d}{d\tau}\left( \frac{\partial L}{\partial\dot{x}^{\mu}} \right)
&=&\frac{d}{d\tau}\left(-\frac{1}{2}\left(- g_{\alpha\beta} \,\dot{x}^{\alpha}\, \dot{x}^{\beta} \right)^{-\frac{1}{2}} \left(- g_{\alpha\beta}\right)\left( \frac{\partial\dot{x}^{\alpha}}{\partial\dot{x}^{\mu}}\dot{x}^{\beta}+\dot{x}^{\alpha}\frac{\partial\dot{x}^{\beta}}{\partial\dot{x}^{\mu}}\right)\right) \\
&=&\frac{d}{d\tau}\left(\frac{-1}{2 L} g_{\alpha\beta}\left( \delta^{\alpha}_{\ \ \mu} \dot{x}^{\beta}+\dot{x}^{\alpha}\delta^{\beta}_{\ \ \mu}\right)\right) \\
&=& \frac{1}{2 c}\frac{d}{d\tau}\left( g_{\mu\beta}\, \dot{x}^{\beta} +g_{\alpha\mu}\, \dot{x}^{\alpha}\right) \\
&=& \frac{1}{2 c}\frac{d}{d\tau}\left( 2 g_{\mu\nu}\, \dot{x}^{\nu} \right) \\&=& \frac{1}{c}\frac{d}{d\tau}\left( g_{\mu \nu} \,\dot{x}^{\nu}\right) \\
\ \\
\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}
&=&\frac{-1}{2 L}
\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\mu}} \,\dot{x}^{\alpha}\, \dot{x}^{\beta} \\
&=&\frac{1}{2 c}
g_{\alpha\beta, \mu} \,\dot{x}^{\alpha}\, \dot{x}^{\beta} \\ \ \\
\therefore\ \ \frac{1}{c}\frac{d}{d\tau}\left( g_{\mu \nu} \,\dot{x}^{\nu}\right)&=&
\frac{1}{2 c}
g_{\alpha\beta, \mu} \,\dot{x}^{\alpha}\, \dot{x}^{\beta}
\end{eqnarray}
\(\displaystyle u^{\mu} \equiv \dot{x}^{\mu}, \ u_{\mu} \equiv g_{\mu\nu} u^{\mu}\) と戻してやれば
$$\frac{d u_{\mu}}{d\tau} = \frac{1}{2} g_{\alpha\beta, \mu} u^{\alpha} u^{\beta}$$
が得られる。
以上のことからわかるように，この「共変成分」に対する測地線方程式は，解析力学におけるラグランジュ方程式に相当し，計量テンソル \(g_{\alpha\beta} \) ，したがってラグランジアン \(L\) が特定の座標 \(x^{\mu} \) 依存性をもたない場合は， \(x^{\mu} \) は循環座標と呼ばれ，この循環座標に共役な一般化運動量である \(\dot{x}_{\mu} = u_{\mu} \) が保存するということを表している。
卒研ゼミの K 君が
$\require{cancel}$
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial u^i} \left( g_{ij} u^i u^j \right)
&=& \frac{\partial}{\partial {\color{red}{\cancel{\color{black}{u^i}}}} }\left( g_{ij} {\color{red}{\cancel{\color{black}{u^i}}}} u^j \right)\\
&=& g_{ij} \ u^j
\end{eqnarray}
みたいな計算をやって「1/2 合いません」などと言うものだから，丁寧に計算を示してみました。
だいたいにして，
$$\frac{\partial}{\partial u^{\color{red}{i}}} \left( g_{{\color{red}{i}}j} u^{\color{red}{i}} u^j \right)$$
という書き方はご法度で，（相対論の授業でアイを語る教員である）私が常々言っている格言：
人生にアイ (i) は必要だ。しかし多すぎるアイ (i) はトラブルの元！
を肝に銘じること。（アイ (i) はワンペアまでが無難。）（なぜここだけ唐突に greek index ではなくて latin index なのかというと，無理矢理この格言を言いたいため… ではなく，latin index が 0~3 になっている佐藤勝彦先生のテキストを彼が使っているためですよ，と言い訳。）
正しくは
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial u^{\mu}} \left( g_{\alpha\beta} u^{\alpha} u^{\beta} \right)
&=& g_{\alpha\beta} \left( \frac{\partial u^{\alpha}}{\partial u^{\mu}} u^{\beta} +
u^{\alpha} \frac{\partial u^{\beta}}{\partial u^{\mu}}\right) \\
&=& g_{\alpha\beta} \left( \delta^{\alpha}_{\ \ \mu} u^{\beta} +
u^{\alpha} \delta^{\ \ \beta}_{\mu}\right) \\
&=& g_{\mu\beta} u^{\beta} + g_{\alpha\mu} u^{\alpha} \\
&=& g_{\mu\beta} u^{\beta} + g_{\mu\alpha} u^{\alpha} \\
&=& g_{\mu\nu} u^{\nu} + g_{\mu\nu} u^{\nu} \\
&=& 2 \, g_{\mu\nu} u^{\nu}
\end{eqnarray}
共変微分からの導出
重力以外の力を受けずに運動するテスト粒子の経路は，以下のように固有時間 \(\tau\) をアフィンパラメータとした測地線方程式で表されるのであった。
$$ \frac{d\boldsymbol{u}}{d\tau} = \frac{d}{d\tau} \left( u^{\mu}\,\boldsymbol{e}_{\mu}\right) = \frac{d}{d\tau} \left( \frac{dx^{\mu}}{d\tau}\,\boldsymbol{e}_{\mu}\right) = \boldsymbol{0}$$
反変成分 \(u^{\mu}\) に対する測地線方程式として書くと
\begin{eqnarray}
\frac{du^{\mu}}{d\tau} + \varGamma^{\mu}_{\ \ \alpha\beta} u^{\alpha}u^{\beta} &=&
\frac{\partial u^{\mu}}{\partial x^{\nu}} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} + \varGamma^{\mu}_{\ \ \ \nu\beta} u^{\beta}u^{\nu} \\
&=& \left\{u^{\mu}_{\ \ ,\nu} + \varGamma^{\mu}_{\ \ \ \nu\beta} u^{\beta} \right\} u^{\nu} \\
&=&0
\end{eqnarray}
これは共変微分を使って書くと
$$ u^{\mu}_{\ \ ;\nu} u^{\nu} = 0$$
共変微分と添字の上げ下げは可換だから
\begin{eqnarray}
g_{\mu\lambda} u^{\lambda}_{\ \ ;\nu} u^{\nu} &=&
u_{\mu ;\nu} u^{\nu} \\
&=& \left\{u_{\mu, \nu} -\varGamma^{\alpha}_{\ \ \ \mu\nu} u_{\alpha} \right\} u^{\nu} \\
&=& \frac{d u_{\mu}}{d\tau} – \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} \left( g_{\beta\mu,\nu} + g_{\beta\nu, \mu} – g_{\mu\nu, \beta} \right) u_{\alpha} u^{\nu} \\
&=& \frac{d u_{\mu}}{d\tau} – \frac{1}{2} \left( g_{\beta\mu,\nu} + g_{\beta\nu, \mu} – g_{\mu\nu, \beta} \right) u^{\beta} u^{\nu} \\
&=& \frac{d u_{\mu}}{d\tau} – \frac{1}{2} g_{\alpha\beta, \mu} u^{\alpha} u^{\beta} \\
&=& 0\\
\therefore\ \ \frac{d u_{\mu}}{d\tau} &=& \frac{1}{2} g_{\alpha\beta, \mu} u^{\alpha} u^{\beta}
\end{eqnarray}