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参考：ケプラーの法則

ケプラーの法則

参考文献：

ケプラーは，ティコ・ブラーエの観測データから，太陽系の惑星の運動を次の3つの法則の形にまとめた。太陽系の惑星の運動に関するケプラーの法則とは，

第1法則

惑星は太陽を焦点のひとつとする楕円軌道上を運動する。

（惑星の運動は太陽を通る平面上に限られることが仮定されている。）太陽の位置を原点とする極座標であらわすと（3次元極座標を使うと $(x, y, z) = (r \sin\theta\cos\phi, r \sin\theta\cos\phi, r \cos\theta)$ だが，一般性を失うことなく運動を $\theta = \pi/2$ の赤道面上に限るとして），惑星の位置 $(x, y, z) = (r \cos\phi, r \sin\phi, 0)$ は以下の式：

$$ r = \frac{a(1-e^2)}{1 + e \cos\phi}$$

ここで，$a$ は楕円の軌道長半径，$e$ は離心率。

第2法則

（一つの惑星に着目すると）面積速度（惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間に掃く面積）は一定である。

惑星が楕円軌道上を運動することから，惑星・太陽間の距離は一定ではなく，一般に変化する。第2法則は，惑星が太陽に近い時はすばやく運動し，太陽から離れているときはゆっくりと運動することを意味する。

楕円の面積を $S$ とすると，微小時間間隔 $dt$ の間に惑星と太陽を結ぶ線分が掃く微小面積は $dS = \dfrac{1}{2} r^2 d\phi$ であるから，

$$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\phi}{dt} = \mbox{const.}  \left(= \frac{\pi a b}{T} = \frac{\pi a^2 \sqrt{1-e^2}}{T}\right)$$

ここで，$T$ は公転周期（楕円軌道上を1周するのにかかる時間）。楕円の短半径 $b = a \sqrt{1-e^2}$ を用いた。

あるいは，以下で説明するように角運動量保存を念頭において（両辺を2倍して）以下のように書いてもよいだろう。

$$r^2 \frac{d\phi}{dt} = \mbox{const.} \equiv \ell$$

第3法則

（軌道長半径 $a$ や公転周期 $T$ は惑星ごとに異なるが）公転周期の二乗 $T^2$ は軌道長半径の三乗 $a^3$ に比例する。

言い換えれば，公転周期の二乗 $T^2$ と軌道長半径の三乗 $a^3$ の比は惑星によらず一定である。

ケプラーの法則は万有引力の1体問題から導くことができる

ケプラーの法則は，あくまで天体観測によって得られた観測量間の関係式である。なぜそのような関係になっているかは，ニュートン力学における万有引力の1体問題を解くことで示すことができる。

質量 $M$ の中心天体（「太陽」に特化せずに一般に中心天体とてもしておこう）からの万有引力を受けて中心天体のまわりを運動する質量 $m$ の天体（「惑星」に相当）は以下の運動方程式に従う：

$$ m \frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2} = -\frac{G M m}{r^3} \boldsymbol{r}$$

ここでは $ m \ll M$ として，質量 $M$ の中心天体は原点に固定，中心天体のまわりを運動する $m$ の天体が中心天体に及ぼす重力は無視できるとする。このような設定を「1体問題」という。1体問題の解法については別途説明はしない。なぜなら，以下に示すように，万有引力の2体問題の運動方程式は1体問題のそれに帰着するから。

万有引力の2体問題から得られた結果との比較

ケプラーの法則は，あくまで天体観測によって得られた観測量間の関係式である。なぜそのような関係になっているかは，ニュートン力学における万有引力の2体問題を解くことでも示すことができるのだが，ケプラーの法則が万有引力の法則を導く際の指導原理だったと思われるにも関わらず，万有引力の2体問題を解いて得られた結果をよく見ると，必ずしもケプラーの法則をそのままの形で完全再現するというわけではないことがわかる。

まず，ニュートン力学では作用・反作用の法則があるため，太陽が惑星に万有引力を及ぼせば，太陽もまた惑星からの万有引力を受けるため，厳密には多体問題となる。3体問題以上は一般には解析的に解けず，2体問題のみ（1体問題に帰着して）解ける。したがって，以下のページでまとめている結果は太陽と1個の惑星のみが存在する場合に厳密に成り立つ。太陽系のように複数個の惑星がある場合には厳密な意味では成り立たない。

第1法則

ニュートン力学における万有引力の2体問題を解くと，まず，単位質量あたりの角運動量ベクトル $\boldsymbol{\ell}$ が一定であることから，その向きを $z$ に取ると一般性を失うことなく運動を $xy$ 平面上にとることができ，確かに相対位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ について楕円の式

$$r = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos\phi}$$

が導かれるが，（不動の）太陽のまわりを惑星「だけ」が動く，というよりは，太陽「も」惑星「も」互いの質量中心のまわりを楕円軌道を描いて運動する，としたほうがよいことがわかる。

第2法則

2体問題を解くと2つの保存則（角運動量保存，エネルギー保存）が得られるが，面積速度は単位質量あたりの角運動量の半分にあたることがわかる。

単位質量あたりの角運動量ベクトルは

$$\boldsymbol{\ell} \equiv \boldsymbol{r} \times \dot{\boldsymbol{r} }, \qquad \frac{d\boldsymbol{\ell}}{dt} = \boldsymbol{0}$$

であり，（運動は赤道面上に限られるとしたから）

$$\boldsymbol{r} = (x, y, 0) = (r \cos\phi, r \sin\phi, 0)$$

とすれば，角運動量の $z$ 成分は

\begin{eqnarray}
\ell_z &=& x \dot{y} – y \dot{x} \\
&=& r \cos\phi \left( \dot{r} \sin\phi + r \cos\phi \, \dot{\phi}\right)
– r \sin\phi \left( \dot{r} \cos\phi – r \sin\phi\, \dot{\phi}\right) \\
&=& r^2 \frac{d\phi}{dt}
\end{eqnarray}

一方，面積速度一定則は

\begin{eqnarray}
\frac{dS}{dt} &=& \frac{1}{2} r^2 \frac{d\phi}{dt}
\end{eqnarray}

したがって

\begin{eqnarray}
\frac{dS}{dt} &=& \frac{1}{2} \ell_z = \frac{1}{2} \ell \qquad (\ell = \sqrt{\boldsymbol{\ell}\cdot\boldsymbol{\ell}})\\
\because\ \ \boldsymbol{\ell} &=& (0, 0, \ell_z)
\end{eqnarray}

つまり，面積速度一定とは角運動量保存のことであった。

また，以下で示すように $\ell = \sqrt{GMa (1-e^2)}$ と解けることがわかるので，第2法則を以下のように書くこともできる。

$$r^2 \frac{d\phi}{dt} = \ell = \sqrt{GMa (1-e^2)}$$

第3法則

もう一つの保存量である単位質量あたりの力学的エネルギー $\varepsilon$ は，極座標であらわすと

\begin{eqnarray}
\varepsilon
&=& \frac{1}{2} \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2\right)- \frac{GM}{r} \\
&=& \frac{\ell^2}{2} \left\{\left(\frac{1}{r^2}\frac{dr}{d\phi}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\right\}- \frac{GM}{r}
\end{eqnarray}

であった。楕円軌道の場合は，$r_{\rm min} = a (1-e)$ および $r_{\rm max} = a (1+e)$ で $r$ が極値をとる，すなわち $\displaystyle \frac{dr}{d\phi} = 0$ なので，

\begin{eqnarray}
\varepsilon
&=& \frac{\ell^2}{2 r_{\rm min}^2} – \frac{GM}{r_{\rm min}} \tag{1}\\
\varepsilon
&=& \frac{\ell^2}{2 r_{\rm max}^2} – \frac{GM}{r_{\rm max}} \tag{2} \\
\end{eqnarray}

$(1)$ 式と $(2)$ 式を連立方程式として $\varepsilon$ および $\ell$ について解くと，

\begin{eqnarray}
\varepsilon &=& – \frac{GM}{r_{\rm min} + r_{\rm max}} = – \frac{GM}{2a} \\
\ell^2 &=& 2 GM \frac{r_{\rm min}  r_{\rm max}}{r_{\rm min} +  r_{\rm max}} = GMa (1-e^2) \\
\therefore \ \ \ell &=& \sqrt{GMa (1-e^2)}
\end{eqnarray}

これと第2法則をあわせると

\begin{eqnarray}
\frac{dS}{dt} = \frac{\pi a^2 \sqrt{1-e^2}}{T} &=& \frac{1}{2} \ell = \frac{1}{2} \sqrt{GMa (1-e^2)} \\
\therefore\ \ \frac{\pi a^2}{T} &=& \frac{1}{2} \sqrt{GMa}  \\
\therefore\ \ \frac{a^3}{T^2} &=& \frac{GM}{4\pi^2}
\end{eqnarray}

という第3法則的な関係式が出てくる。

強調しておくべきは，万有引力の2体問題においては $M = m_1 + m_2$ であり，$m_1$ を太陽質量，$m_2$ を惑星質量とすると，比 $\displaystyle \frac{a^3}{T^2} $ は惑星によらず一定というわけではなく，$M$ の中の惑星質量 $m_2$ に依存する！ということ。