シュバルツシルト時空中の運動のおさらい
詳細は，
線素
$$ ds^2 = -\left(1-\frac{r_g}{r}\right) c^2 dt^2 + \frac{dr^2} {1-\frac{r_g}{r}} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) $$
テスト粒子（観測者）の4元速度
\begin{eqnarray}
u^0 &=& \frac{c\, dt}{d\tau} = \frac{\epsilon\,c}{1 – \frac{r_g}{r}} \\
u^1 &=& \frac{dr}{d\tau} \\
u^2 &=& \frac{d\theta}{d\tau} = 0, \quad \theta = \frac{\pi}{2} \\
u^3 &=& \frac{d\phi}{d\tau} = \frac{\ell}{r^2}
\end{eqnarray}
$\epsilon, \, \ell$ は定数。$u^1$ については，4元速度の規格化条件 $g_{\mu\nu} u^{\mu} u^{\nu} = -c^2$ から
$$\left(\frac{dr}{d\tau} \right)^2 = \epsilon^2 c^2- \left(1 – \frac{r_g}{r} \right) \left( c^2+ \frac{\ell^2}{r^2}\right) \tag{A}$$
円運動の場合
円運動 $r = \mbox{const.}$ の場合は，以下のページにまとめてある。
円運動する観測者の4元速度
\begin{eqnarray}
\bar{u}^0 &=& \frac{\epsilon\,c}{1 – \frac{r_g}{r}} =\frac{c}{\sqrt{1 – \frac{3}{2}\frac{r_g}{r}}}\\
\bar{u}^1 &=&0 \\
\bar{u}^2 &=& 0, \quad \theta = \frac{\pi}{2} \\
\bar{u}^3 &=& \frac{\ell}{r^2}=\frac{1}{r}\frac{\sqrt{\frac{GM}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{3}{2}\frac{r_g}{r}}}
\end{eqnarray}
つまり，
\begin{eqnarray}
\epsilon &=& \frac{1 – \frac{r_g}{r}}{\sqrt{1 – \frac{3}{2}\frac{r_g}{r}}} \\
\ell &=&c r \frac{\sqrt{\frac{1}{2}\frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{3}{2}\frac{r_g}{r}}}
\end{eqnarray}
円運動以外の一般的な有界運動の場合
一般に，シュバルツシルト時空の原点のまわりの運動は，ニュートン力学の場合とは異なり，閉じた楕円軌道にはならない。弱い重力場の場合には $r_g$ の1次程度までの近似解が知られていて，以下にまとめている。
軌道が厳密には解けないとしても，しかし，運動が有界であれば $r$ が無限大になったりゼロになったりすることなく，原点のまわりを有限の範囲 $$r_g < r_{\rm min} \le r \le r_{\rm max}$$ で有界な束縛運動をするハズである。
$r = r_{\rm min}$ および $r = r_{\rm max}$ では $\displaystyle \frac{dr}{d\tau} = 0$ となるから，$(\mbox{A})$ 式から
\begin{eqnarray}
0 &=& \epsilon^2 c^2- \left(1 – \frac{r_g}{r_{\rm min}} \right) \left( c^2+ \frac{\ell^2}{r_{\rm min}^2}\right) \tag{1}\\
0 &=& \epsilon^2 c^2- \left(1 – \frac{r_g}{r_{\rm max}} \right) \left( c^2+ \frac{\ell^2}{r_{\rm max}^2}\right) \tag{2}
\end{eqnarray}
$(1), (2)$ 式は $\epsilon^2$ と $\ell^2$ についての連立1次方程式であり，以下のように簡単に解くことができる。
\begin{eqnarray}
\epsilon^2&=& \frac{(r_{\rm min} + r_{\rm max}) (r_{\rm min} – r_g) (r_{\rm max} – r_g)}
{r_{\rm min} r_{\rm max} (r_{\rm min} + r_{\rm max})- (r_{\rm min}^2 + r_{\rm min}r_{\rm max}+r_{\rm max}^2) r_g}\\
\ell^2&=& \frac{c^2 r_{\rm min}^2 r_{\rm max}^2 r_g}
{r_{\rm min} r_{\rm max} (r_{\rm min} + r_{\rm max})- (r_{\rm min}^2 + r_{\rm min}r_{\rm max}+r_{\rm max}^2) r_g}
\end{eqnarray}
参考までに，
$$r_{\rm max} \equiv a (1+e),\quad
r_{\rm min} \equiv a (1-e)$$
で定義される変数 $a$ および $e$ を使って書くと
\begin{eqnarray}
\epsilon^2&=& \frac{2a^2(1-e^2) – 4 a r_g + 2r_g^2}{2a^2(1-e^2) – a(3+e^2) r_g} \\
&=& 1 – \frac{r_g}{2 a} + \frac{r_g^2 (1-e^2) }{4a^2(1-e^2) – 2a(3+e^2) r_g} \\
\ell^2&=&c^2 \frac{a^2 (1-e^2)^2 r_g}{2 a (1-e^2) – (3+e^2) r_g} \\
&=& GM a (1-e^2) \left( 1 + \frac{(3+e^2) r_g}{2a(1-e^2) – (3+e^2) r_g}\right)
\end{eqnarray}
円軌道の場合の解を再現
特に円軌道の場合は，$r_{\rm min} = r_{\rm max} \equiv r$ あるいは $e = 0, \ a \Rightarrow r$ とおくと，
\begin{eqnarray}
\epsilon^2&=& \frac{2 r (r – r_g)^2}{r^2 \cdot 2 r- 3 r^2 r_g}\\
&=& \frac{\left(1 – \frac{r_g}{r}\right)^2}{1 – \frac{3}{2} \frac{r_g}{r}} \\
\therefore\ \ \epsilon &=& \frac{1 – \frac{r_g}{r}}{\sqrt{1 – \frac{3}{2} \frac{r_g}{r}} } \\
\ \\
\ell^2&=& c^2 \frac{r^4 r_g}{r^2 \cdot 2 r- 3 r^2 r_g} \\
&=& r^2 \frac{\frac{GM}{r}}{1 – \frac{3}{2} \frac{r_g}{r}} \\
\therefore\ \ \ell &=& r \frac{\sqrt{ \frac{GM}{r}}} {\sqrt{1 – \frac{3}{2} \frac{r_g}{r}}}
\end{eqnarray}
となり，当然ながら「シュバルツシルト時空中を円運動する観測者」に書かれている内容を再現する。
また，このとき
\begin{eqnarray}
u^3 &=& \frac{d\phi}{d\tau} = \frac{\ell}{r^2} \\
\therefore\ \
r \frac{d\phi}{d\tau}
&=& \frac{\ell}{r}
= \frac{\sqrt{\frac{GM}{r}}} {\sqrt{1 – \frac{3}{2} \frac{r_g}{r}}} \\
\therefore\ \ r \frac{d\phi}{dt} &=& r \frac{d\phi}{d\tau} \frac{d\tau}{dt} \\
&=& \frac{\ell}{r} \left( \frac{dt}{d\tau}\right)^{-1} \\
&=& \frac{\ell}{r} c \frac{1-\frac{r_g}{r}}{\epsilon} \\
&=&\sqrt{\frac{GM}{r}} \\
\therefore\ \ r \frac{d\phi}{dt} &=& \sqrt{\frac{GM}{r}}
\end{eqnarray}
この式は（偶然にも？あるいは当然ながら？）ニュートン力学における円運動に関して $\displaystyle v \equiv r \frac{d\phi}{dt}$ としたときの遠心力 $\displaystyle m \frac{v^2}{r}$ と万有引力 $\displaystyle \frac{GM m}{r^2}$ のつりあいの式
\begin{eqnarray}
m \frac{v^2}{r} &=& \frac{GM m}{r^2} \\
\therefore\ \ v &=& \sqrt{\frac{GM}{r}}
\end{eqnarray}
と一致している。
円軌道の場合は，一般相対論的な測地線方程式を解いた結果とニュートン力学の結果が形の上でまさに一致していることが直接あからさまに示された。
一般相対論的なケプラーの第3法則へのヒント
シュバルツシルト時空中の円運動に対しては，一般相対論においても
$$
r \frac{d\phi}{dt} = \sqrt{\frac{GM}{r}}
$$
が厳密に成り立つことが示された。これは，一般相対論的なケプラーの第3法則へのヒントとなる。
円軌道の場合に限れば，この両辺を1周期積分して
\begin{eqnarray}
\int_0^{2 \pi} r d\phi&=&\int_0^{T} \sqrt{\frac{GM}{r}} dt \\
\therefore\ \ 2\pi r &=& \sqrt{\frac{GM}{r}} T \\
\therefore\ \ \frac{r^3}{T^2} &=& \frac{GM}{4\pi^2}
\end{eqnarray}
これはニュートン力学におけるケプラーの第3法則と全く同じ形になっている。注意すべき点は，周期 $T$ の意味。ここでは座標時間 $t$ すなわち十分遠方における（固有）時間で測ったときの，円軌道を1周（$2\pi$ ラジアン）回る時間である。一般相対論では，重力場中の時間の進みは場所によって異なるし，また運動することによっても異なることに注意。どういう時間で測ったときの「周期」であるか，明言すること。