電磁場の変換

$S$ 系に対して速度 $\mathit{V}$ で運動する $S^{\prime }$ 系でみると，電磁場の $\mathit{V}$ に平行な成分（${}_{//}$ をつけて表す），および垂直な成分（${}_{\perp }$ をつけて表す）は以下のように変換される。
$${\mathit{E}}_{//}^{\prime }={\mathit{E}}_{//},{\mathit{E}}_{\perp }^{\prime }=\frac{{\mathit{E}}_{\perp }+(\mathit{V}\times \mathit{B}{)}_{\perp }}{\sqrt{1-V^2}}$$
$${\mathit{B}}_{//}^{\prime }={\mathit{B}}_{//},{\mathit{B}}_{\perp }^{\prime }=\frac{{\mathit{B}}_{\perp }–(\mathit{V}\times \mathit{E}{)}_{\perp }}{\sqrt{1-V^2}}$$
以上の結果は，通常は電磁場テンソルのローレンツ変換から導くのであるが，これをローレンツ変換を使わずに導こうというのがここの本題である。

電磁場テンソル

電磁場テンソル（または電磁テンソル）$F_{\mu \nu }$ は電磁ポテンシャル $A_{\mu }$ を使って以下のようにして定義される反対称テンソルである。

$$F_{\mu \nu }\equiv {\partial }_{\mu }{A}_{\nu }–{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$$

4元速度 $\mathit{u}$ の成分が $u^{\mu }=(1,0,0,0)$ となる静止系では，電磁テンソル $F_{\mu \nu }$ の成分は，以下のように3次元電場ベクトル $\overrightarrow{E}=(E_x,E_y,E_z)$ や磁場ベクトル（磁束密度ベクトル）$\overrightarrow{B}=(B_x,B_y,B_z)$ の成分であわらされる。

$$\begin{array}{rcl}{F}_{\mu \nu }& =& \left(\begin{array}{cccc}{F}_{00}& F_{01}& F_{02}& F_{03}\\ F_{10}& F_{11}& F_{12}& F_{13}\\ F_{20}& F_{21}& F_{22}& F_{23}\\ F_{30}& F_{31}& F_{32}& F_{33}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cccc}0& -E_x& -E_y& -E_z\\ E_x& 0& B_z& -B_y\\ E_y& -B_z& 0& B_x\\ E_z& B_y& -B_x& 0\end{array}\right)\end{array}$$

ここで，4元速度 $u^{\mu }$ の観測者 $A$ が観測する電場，磁場を以下のように4元ベクトルの成分として定義する。
$$\begin{array}{rcl}{E}_{\mu }& \equiv & F_{\mu \nu }{u}^{\nu }\\ B_{\nu }& \equiv & {}^{\ast }{F}_{\mu \nu }{u}^{\mu }\end{array}$$ ここで，${}^{\ast }{F}_{\mu \nu }$ は完全反対称な Levi-Civita テンソル ${\epsilon }_{\mu \nu \alpha \beta }$ を用いて
$${}^{\ast }{F}_{\mu \nu }\equiv \frac{1}{2}{\epsilon }_{\mu \nu \alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }$$ のように定義される2階反対称テンソルで，$F^{\mu \nu }$ に双対 (dual) なテンソルと呼ばれる。

上記の定義から，$E^{\mu },B_{\nu }$ が4元速度 $u^{\mu }$ に直交している「空間的ベクトル」であることは明らかである。
$$E_{\mu }{u}^{\mu }=0,B_{\nu }{u}^{\nu }=0$$  特に観測者 $A$ が $S$ 系に静止しているとすると
$$u^{\mu }=(1,0,0,0)$$ となる。これを使って各成分を具体的に表すと
$$\begin{array}{rcl}{E}_0& =& F_{00}{u}^0=0\\ E_1& =& F_{10}{u}^0=E_x\\ E_2& =& F_{20}{u}^0=E_y\\ E_3& =& F_{30}{u}^0=E_z\\ B_0& =& \frac{1}{2}{u}^0{\epsilon }_{00\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }=0\\ B_1& =& \frac{1}{2}{u}^0{\epsilon }_{01\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }=\frac{1}{2}({\epsilon }_{0123}{F}^{23}+{\epsilon }_{0132}{F}^{32})=F^{23}=F_{23}=B_x\\ B_2& =& \frac{1}{2}{u}^0{\epsilon }_{02\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }=\frac{1}{2}({\epsilon }_{0231}{F}^{31}+{\epsilon }_{0213}{F}^{13})=F^{31}=F_{31}=B_y\\ B_3& =& \frac{1}{2}{u}^0{\epsilon }_{03\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }=\frac{1}{2}({\epsilon }_{0312}{F}^{12}+{\epsilon }_{0321}{F}^{21})=F^{12}=F_{12}=B_z\end{array}$$ となり，4元ベクトル $E^{\mu },B_{\nu }$ の空間成分が確かに3次元の電場ベクトル $\overrightarrow{E}$ および磁場（磁束密度）ベクトル $\overrightarrow{B}$ の成分になっていることがわかる。

4元速度の合成則

観測者 $A$

観測者 $A$ の4元速度: $\mathit{u}$

$\mathit{u}$ に直交する空間的単位ベクトル: $\mathit{e}$ （運動する方向を表す空間的ベクトル）
$$\begin{array}{rcl}\mathit{u}\cdot \mathit{e}& =& {\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{e}^{\nu }=0\\ \mathit{e}\cdot \mathit{e}& =& {\eta }_{\mu \nu }{e}^{\mu }{e}^{\nu }=1\end{array}$$

$\mathit{u}$ にも$\mathit{e}$にも直交する空間的単位ベクトル: $\mathit{n}$ （運動に直交する方向を表す空間的ベクトル）

$$\begin{array}{rcl}\mathit{u}\cdot \mathit{n}& =& {\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{n}^{\nu }=0\\ \mathit{e}\cdot \mathit{n}& =& {\eta }_{\mu \nu }{e}^{\mu }{n}^{\nu }=0\\ \mathit{n}\cdot \mathit{n}& =& {\eta }_{\mu \nu }{n}^{\mu }{n}^{\nu }=1\end{array}$$

観測者 $B$

観測者 $A$ に対して，$\mathit{e}$ 方向に速さ $V$ で運動する観測者 $B$ の4元速度: $\overline{\mathit{u}}$

$\overline{\mathit{u}}$ に直交する空間的単位ベクトル: $\overline{\mathit{e}}$ （運動する方向を表す空間的ベクトル）

$$\begin{array}{rcl}\overline{\mathit{u}}\cdot \overline{\mathit{e}}& =& {\eta }_{\mu \nu }{\overline{u}}^{\mu }{\overline{e}}^{\nu }=0\\ \overline{\mathit{e}}\cdot \overline{\mathit{e}}& =& {\eta }_{\mu \nu }{\overline{e}}^{\mu }{\overline{e}}^{\nu }=1\end{array}$$

$\overline{\mathit{u}}$ にも$\overline{\mathit{e}}$にも直交する空間的単位ベクトル: $\overline{\mathit{n}}$ （運動に直交する方向を表す空間的ベクトル）

$$\begin{array}{rcl}\overline{\mathit{u}}\cdot \overline{\mathit{n}}& =& {\eta }_{\mu \nu }{\overline{u}}^{\mu }{\overline{n}}^{\nu }=0\\ \overline{\mathit{e}}\cdot \overline{\mathit{n}}& =& {\eta }_{\mu \nu }{\overline{e}}^{\mu }{\overline{n}}^{\nu }=0\\ \overline{\mathit{n}}\cdot \overline{\mathit{n}}& =& {\eta }_{\mu \nu }{\overline{n}}^{\mu }{\overline{n}}^{\nu }=1\end{array}$$

4元速度の合成則とその関連

$$\begin{array}{rcl}\overline{\mathit{u}}& =& \frac{1}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{u}+\frac{V}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{e}\\ \overline{\mathit{e}}& =& \frac{1}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{e}+\frac{V}{\sqrt{1-V^2}}\mathit{u}\\ \overline{\mathit{n}}& =& \mathit{n}\end{array}$$

観測者 $A$ および $B$ の観測する電磁場の成分

電場

観測者 $A$ が観測する電場ベクトル $E_{\mu }=F_{\mu \nu }{u}^{\nu }$ の，進行方向をあらわす単位ベクトル $e^{\mu }$ に平行な成分 $E_{//}$ は
$$E_{//}=e^{\mu }{E}_{\mu }=e^{\mu }{F}_{\mu \nu }{u}^{\nu }$$である。

観測者 $B$ にとっては，自身の4元速度 ${\overline{u}}^{\mu }$ と進行方向を表す単位ベクトル ${\overline{e}}^{\mu }$ を使って， ${\overline{E}}_{//}={\overline{e}}^{\mu }{F}_{\mu \nu }{\overline{u}}^{\nu }$  であり，

$$\begin{array}{rcl}{\overline{E}}_{//}& \equiv & {\overline{e}}^{\mu }{F}_{\mu \nu }{\overline{u}}^{\nu }\\ & =& \frac{e^{\mu }+V{u}^{\mu }}{\sqrt{1-V^2}}{F}_{\mu \nu }\frac{u^{\nu }+V{e}^{\nu }}{\sqrt{1-V^2}}\\ & =& \frac{e^{\mu }{F}_{\mu \nu }{u}^{\nu }+V^2{u}^{\mu }{F}_{\mu \nu }{e}^{\nu }}{1-V^2}\\ & =& \frac{e^{\mu }{F}_{\mu \nu }{u}^{\nu }–V^2{e}^{\nu }{F}_{\nu \mu }{u}^{\mu }}{1-V^2}\\ & =& e^{\mu }{F}_{\mu \nu }{u}^{\nu }\\ & =& E_{//}\end{array}$$

観測者 $A$ が観測する電場ベクトル $E_{\mu }=F_{\mu \nu }{u}^{\nu }$ の，進行方向に垂直な成分は $$E_{\perp }=n^{\mu }{E}_{\mu }=n^{\mu }{F}_{\mu \nu }{u}^{\nu }$$である。

観測者 $B$ にとっては，自身の4元速度 ${\overline{u}}^{\mu }$ を使って， ${\overline{E}}_{\perp }={\overline{n}}^{\mu }{F}_{\mu \nu }{\overline{u}}^{\nu }$  であり，

$$\begin{array}{rcl}{\overline{E}}_{\perp }& \equiv & {\overline{n}}^{\mu }{F}_{\mu \nu }{\overline{u}}^{\nu }=n^{\mu }{F}_{\mu \nu }{\overline{u}}^{\nu }\\ & =& n^{\mu }{F}_{\mu \nu }\frac{u^{\nu }+V{e}^{\nu }}{\sqrt{1–V^2}}\\ & =& \frac{n^{\mu }{F}_{\mu \nu }{u}^{\nu }+n^{\mu }{F}_{\mu \nu }V{e}^{\nu }}{\sqrt{1–V^2}}\\ & =& \frac{E_{\perp }+(\mathit{V}\times \mathit{B}{)}_{\perp }}{\sqrt{1–V^2}}\end{array}$$

念のために詳細を書くと，観測者 $A$ の静止系では
$$u^{\mu }=(1,0,0,0),e^{\mu }=(0,1,0,0),n^{\mu }=(0,0,1,0)$$としてよいので，
$$\begin{array}{rcl}{n}^{\mu }{F}_{\mu \nu }V{e}^{\nu }& =& n^2{F}_{21}V{e}_1\\ & =& –B_{z}V=(\mathit{V}\times \mathit{B}{)}_y\\ & =& (\mathit{V}\times \mathit{B}{)}_{\perp }\end{array}$$一旦答えがでたら，この式は左辺が4元スカラーであるから，座標系によらずに成り立つ。

磁場

観測者 $A$ が観測する電場ベクトル $B_{\mu }={}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{u}^{\nu }$ の，進行方向をあらわす単位ベクトル $e^{\mu }$ に平行な成分 $B_{//}$ は
$$B_{//}=e^{\mu }{B}_{\mu }=e^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{u}^{\nu }$$である。

観測者 $B$ にとっては，自身の4元速度 ${\overline{u}}^{\mu }$ と進行方向を表す単位ベクトル ${\overline{e}}^{\mu }$ を使って， ${\overline{B}}_{//}={\overline{e}}^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{\overline{u}}^{\nu }$  であり，

$$\begin{array}{rcl}{\overline{B}}_{//}& \equiv & {\overline{e}}^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{\overline{u}}^{\nu }\\ & =& \frac{e^{\mu }+V{u}^{\mu }}{\sqrt{1-V^2}}{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }\frac{u^{\nu }+V{e}^{\nu }}{\sqrt{1-V^2}}\\ & =& \frac{e^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{u}^{\nu }+V^2{u}^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{e}^{\nu }}{1-V^2}\\ & =& \frac{e^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{u}^{\nu }–V^2{e}^{\nu }{}^{\ast }{F}_{\mu \nu }{u}^{\mu }}{1-V^2}\\ & =& e^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{u}^{\nu }\\ & =& B_{//}\end{array}$$

観測者 $A$ が観測する磁場ベクトル $B_{\mu }={}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{u}^{\nu }$ の，進行方向に垂直な成分は $$B_{\perp }=n^{\mu }{B}_{\mu }=n^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{u}^{\nu }$$である。

観測者 $B$ にとっては，自身の4元速度 ${\overline{u}}^{\mu }$ を使って， ${\overline{B}}_{\perp }={\overline{n}}^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{\overline{u}}^{\nu }$  であり，

$$\begin{array}{rcl}{\overline{B}}_{\perp }& \equiv & {\overline{n}}^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{\overline{u}}^{\nu }=n^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{\overline{u}}^{\nu }\\ & =& n^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }\frac{u^{\nu }+V{e}^{\nu }}{\sqrt{1–V^2}}\\ & =& \frac{n^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{u}^{\nu }+n^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }V{e}^{\nu }}{\sqrt{1–V^2}}\\ & =& \frac{B_{\perp }-(\mathit{V}\times \mathit{E}{)}_{\perp }}{\sqrt{1–V^2}}\end{array}$$

念のために詳細を書くと，観測者 $A$ の静止系では
$$u^{\mu }=(1,0,0,0),e^{\mu }=(0,1,0,0),n^{\mu }=(0,0,1,0)$$としてよいので，
$$\begin{array}{rcl}{n}^{\mu }{}^{\ast }{F}_{\nu \mu }V{e}^{\nu }& =& n^2{}^{\ast }{F}_{21}V{e}_1\\ & =& F_{30}V\\ & =& E_{z}V=-(\mathit{V}\times \mathit{E}{)}_y\\ & =& -(\mathit{V}\times \mathit{E}{)}_{\perp }\end{array}$$一旦答えがでたら，この式は左辺が4元スカラーであるから，座標系によらずに成り立つ。

まとめ

観測者 $A$ に対して運動する観測者 $B$ の運動方向に平行な成分成分（${}_{//}$ をつけて表す），および垂直な成分（${}_{\perp }$ をつけて表す）について，以下のような変換則が成り立つことを，ローレンツ変換を使わずに求めることができた。

$$\begin{array}{rcl}{\overline{E}}_{//}& =& E_{//}\\ {\overline{E}}_{\perp }& =& \frac{E_{\perp }+(\mathit{V}\times \mathit{B}{)}_{\perp }}{\sqrt{1–V^2}}\\ {\overline{B}}_{//}& =& B_{//}\\ {\overline{B}}_{\perp }& =& \frac{B_{\perp }-(\mathit{V}\times \mathit{E}{)}_{\perp }}{\sqrt{1–V^2}}\end{array}$$

観測者 $A$にとっての電磁場は
$$E_{\mu }=F_{\mu \nu }{u}^{\nu },E_{//}=e^{\mu }{E}_{\mu },E_{\perp }=n^{\mu }{E}_{\mu }$$
$$B_{\mu }={}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{u}^{\nu },B_{//}=e^{\mu }{B}_{\mu },B_{\perp }=n^{\mu }{B}_{\mu }$$

観測者 $B$にとっての電磁場は
$${\overline{E}}_{\mu }=F_{\mu \nu }{\overline{u}}^{\nu },{\overline{E}}_{//}={\overline{e}}^{\mu }{\overline{E}}_{\mu },{\overline{E}}_{\perp }={\overline{n}}^{\mu }{\overline{E}}_{\mu }=n^{\mu }{\overline{E}}_{\mu }$$
$${\overline{B}}_{\mu }={}^{\ast }{F}_{\nu \mu }{\overline{u}}^{\nu },{\overline{B}}_{//}={\overline{e}}^{\mu }{\overline{B}}_{\mu },{\overline{B}}_{\perp }={\overline{n}}^{\mu }{\overline{B}}_{\mu }=n^{\mu }{\overline{B}}_{\mu }$$