運動している時計の遅れ

時計と一緒に運動している観測者 $B$ が測定する時計の進み

4元速度 $\overline{\mathit{u}}$ の観測者 $B$ と一緒に運動する時計が $T_0$ だけ時を刻むことを表す4元ベクトル $\mathit{t}$ は
$$\mathit{t}=T_0\overline{\mathit{u}}$$
である。観測者 $B$ が測定する時間は，$\overline{\mathit{u}}$ にそった「成分」として定義すると，
$$\mathit{t}\cdot \frac{\overline{\mathit{u}}}{\overline{\mathit{u}}\cdot \overline{\mathit{u}}}=–T_0\overline{\mathit{u}}\cdot \overline{\mathit{u}}=T_0$$ と，確かに $T_0$  になっている。

観測者 $A$ がそれを測定すると…

一方，この同じ現象を4元速度 $\mathit{u}$ の観測者 $A$ が測定すると，時計は $V$ で運動しているように見える。$A$ が測定する時間 $T$ は $A$ の4元速度 $\mathit{u}$ に沿った「成分」であるから，
$$T=\mathit{t}\cdot \frac{\mathit{u}}{\mathit{u}\cdot \mathit{u}}=–T_0\overline{\mathit{u}}\cdot \mathit{u}$$
となる。4元速度の合成則を使うと（$\mathit{u}\cdot \mathit{u}=-1,\mathit{e}\cdot \mathit{u}=0$ であるから）
$$\begin{array}{rcl}T& =& –T_0\frac{1}{\sqrt{1-V^2}}(\mathit{u}+V\mathit{e})\cdot \mathit{u}\\ \\ & =& \frac{T_0}{\sqrt{1-V^2}}\end{array}$$

したがって，$$T_0=T\sqrt{1-V^2}<T$$
となり，観測者 $A$ の経過する時間 $T$ に対し，観測者 $B$ の経過する時間 $T_0$ が小さいことから，運動している観測者 $B$ の時計がゆっくり進んでいるようにみえる。