光の速さとは
- 時刻 \(t\) に点 \(P (x, y, z)\) から出た光が，
- 時刻 \(t+dt\) に近傍の点 \(Q (x + dx, y + dy, z + dz) \) に到達する。
光速は \(c\) であるということは，
$$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2
= c^2 $$
両辺に \(dt^2\) をかけて整理すると
$$ -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2= 0$$
（高校の数学の先生は，微分は分数ではない！と言ったかもしれないが，大学では微分は分数みたいなものだから，こんな具合に「分母をはらう」ことができるんだと教える。）
さて，デカルト座標系 \(x, y, z\) で表される3次元空間と時間座標 \(t\) をまとめて4次元時空と呼ぶが，上記は，この時空を \(x, y, z, t\) という座標系 \(S\)（簡単のために「\(S\) 系」とも書く）で表示した場合の式である。
次に，\(S\)系に対して，\(+x\) 方向に速さ \(V\) で運動する別の座標系である \(S’\) 系で記述してみると，
- 時刻 \(t’\) に点 \(P (x’, y’, z’)\) から出た光が，
- 時刻 \(t’+dt’\) に近傍の点 \(Q (x’ + dx’, y’ + dy’, z’ + dz’) \) に到達する。
\(S’\) 系での光の速さは $$\left(\frac{dx’}{dt’}\right)^2 + \left(\frac{dy’}{dt’}\right)^2 + \left(\frac{dz’}{dt’}\right)^2
= c^2 $$
あるいは整理して，
$$ -c^2 dt’^2 + dx’^2 + dy’^2 + dz’^2= 0$$
となる。大事なことは，\(S’\) 系で観測しても，光の速さは \(c\) であるということ。これを
光速不変の原理
と呼んだり，あるいは文章として
光の速さは座標系によらず一定である
と言ったりする。
座標系によらず光速は一定であるとは？
\( S \) 系 \( \{x, y, z, t\} \) においても \(S’ \) 系 \( \{x’, y’, z’, t’\} \) においても光速は一定である，ということは以下のように書ける。
$$ -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 = -c^2 dt’^2 + dx’^2 + dy’^2 + dz’^2 $$
点 \(P\) から近傍の点 \(Q\) まで光が伝播する場合の微小変位については，上式の左辺も右辺もどちらもゼロという意味で等号が成り立っている。
ローレンツ変換：光速を一定に保つ座標変換
一般に座標変換とは2つの座標系 \( S\{x, y, z, t \} \) と \( S’\{x’, y’, z’, t’ \} \) の座標同士を関係付ける式のセットである。「光の速さは座標系によらず一定である」という特殊相対論の要請を満たす座標変換はローレンツ変換と呼ばれる。
座標系 \( S\{t, x, y, z \} \) と，\(S\) 系に対して \(+x\) 方向に速さ \(V\) で運動する座標系 \( S’\{t’, x’, y’, z’ \} \) の間のローレンツ変換は，以下のように書ける。（光速 \(c\) を使って，\(c t, \ c t’\) などとして長さの単位にあわせています。）
\begin{eqnarray}
ct’ &=& \frac{ct -\frac{V}{c} x}{\sqrt{1 -\left(\frac{V}{c}\right)^2}}\\
x’ &=& \frac{x -\frac{V}{c} c t}{\sqrt{1 -\left(\frac{V}{c}\right)^2}}\\
y’ &=& y\\
z’ &=& z
\end{eqnarray}