練習問題 1
特殊相対性理論におけるローレンツ変換とは，どのような座標変換か。慣性系 \(S\) に対して速さ \(V\) で \(x\) 方向に運動する別の慣性系 \(S^{\prime}\) についての座標変換の式で示せ。
練習問題 2
ローレンツ変換を使って3次元速度の合成則を導け。
練習問題 1 の解答例
$S$ 系の座標を $(t, x, y, z)$，$S$ 系に対して速さ $V$ で $x$ 方向に運動する $S’$ 系の座標を $(t’, x’, y’, z’)$ とすると，ローレンツ変換は
\begin{eqnarray}
t’ &=& \frac{t -\frac{V}{c^2} x}{\sqrt{1 – \left(\frac{V}{c}\right)^2}} \tag{1}\\
x’ &=& \frac{x -V\, t}{\sqrt{1 – \left(\frac{V}{c}\right)^2}} \tag{2}\\
y’ &=& y \\
z’ &=& z
\end{eqnarray}
参考までに逆変換を書いておくと
\begin{eqnarray}
t &=& \frac{t’ + \frac{V}{c^2} x’}{\sqrt{1 – \left(\frac{V}{c}\right)^2}} \\
x &=& \frac{x’ + V\, t’}{\sqrt{1 – \left(\frac{V}{c}\right)^2}}\\
y &=& y’ \\
z &=& z’
\end{eqnarray}
練習問題の解答例 2
解答例 I
$\displaystyle v_x \equiv \frac{dx}{dt}$ とする。ローレンツ変換の逆変換から，
\begin{eqnarray}
dt &=& \frac{dt’ + \frac{V}{c^2} dx’}{\sqrt{1 – \left(\frac{V}{c}\right)^2}} \\
dx &=& \frac{dx’ + V\, dt’}{\sqrt{1 – \left(\frac{V}{c}\right)^2}}\\
\therefore\ \ v_x \equiv \frac{dx}{dt} &=& \frac{dx’ + V\, dt’}{dt’ + \frac{V}{c^2} dx’} \\
&=& \frac{\frac{dx’}{dt’} + V}{1 + \frac{V}{c^2} \frac{dx’}{dt’}} \\
&=& \frac{v’_x + V}{1 + \frac{V v’_x}{c^2}}
\end{eqnarray}
ここで，$\displaystyle v’_x \equiv \frac{dx’}{dt’} $。
つまり，$S$ 系に対して速さ $V$ で運動する $S’$ 系で見たときの速さ $v’_x$ を $S$ からみると速さ $v_x$ で見える。ガイレイ変換によるならば $v_x = v’_x + V$ となるべきところだが，特殊相対論では上記のようになる，ということ。
解答例 II
$S’$ 系に対して速さ $W$ で $x’$ 方向に運動する$S^{\prime\prime} $ 系の座標を $(t^{\prime\prime} , x^{\prime\prime} , y^{\prime\prime} , z^{\prime\prime} )$ とすると，ローレンツ変換により
\begin{eqnarray}
t^{\prime\prime} &=& \frac{t’ -\frac{W}{c^2} x’}{\sqrt{1 – \left(\frac{W}{c}\right)^2}} \tag{3}\\
x^{\prime\prime} &=& \frac{x’ -W\, t’}{\sqrt{1 – \left(\frac{W}{c}\right)^2}} \tag{4}\\
y^{\prime\prime} &=& y’ \\
z^{\prime\prime} &=& z’
\end{eqnarray}
$(1), (2), (3), (4)$ 式より，$t’, x’$ を消去して $t^{\prime\prime}$ を直接 $t, x$ であらわすと
\begin{eqnarray}
t^{\prime\prime} &=&
\frac{1}{\sqrt{1 -\left(\frac{W}{c}\right)^2}} \left\{\frac{t -\frac{V}{c^2} x}{\sqrt{1 -\left(\frac{V}{c}\right)^2}}
-\frac{W}{c^2}\frac{x -V\, t}{\sqrt{1 – \left(\frac{V}{c}\right)^2}}\right\}\\
&=& \frac{1 + \frac{V W}{c^2}}{\sqrt{1 – \left(\frac{V}{c}\right)^2} \sqrt{1 -\left(\frac{W}{c}\right)^2}}
\left\{t -\frac{1}{c^2} \frac{V + W}{1 + \frac{V W}{c^2}} x\right\}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{1 -\left(\frac{U}{c}\right)^2}}\left( t -\frac{U}{c^2} x\right)
\end{eqnarray}
ここで，$\displaystyle U \equiv \frac{V + W}{1 + \frac{V W}{c^2}}$。
$x^{\prime\prime}$ についても同様に
\begin{eqnarray}
x^{\prime\prime} &=&
\frac{1}{\sqrt{1 -\left(\frac{W}{c}\right)^2}} \left\{\frac{x -{V} t}{\sqrt{1 -\left(\frac{V}{c}\right)^2}}
– W\frac{t -\frac{V}{c^2} x}{\sqrt{1 – \left(\frac{V}{c}\right)^2}}\right\}\\
&=& \frac{1 + \frac{V W}{c^2}}{\sqrt{1 – \left(\frac{V}{c}\right)^2} \sqrt{1 -\left(\frac{W}{c}\right)^2}}
\left\{x -\frac{V + W}{1 + \frac{V W}{c^2}} t\right\}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{1 -\left(\frac{U}{c}\right)^2}}\left( x -{U} t\right)
\end{eqnarray}
したがって，$S^{\prime\prime}$ 系は，$S$ 系に対して速さ $U$ で運動する系であり，$S$ 系に対する $S’$ 系の速さ $V$ と，$S’$ 系に対する $S^{\prime\prime}$ 系の速さ $W$ と，$U$ との関係は3次元速度の合成則
$$U = \frac{V + W}{1 + \frac{V W}{c^2}}$$
で与えられる。