観測者 \(A\) (\(\boldsymbol{u}\)) に対して，観測者 \(B\) (\(\bar{\boldsymbol{u}}\)) は速さ \(V\) で \(\boldsymbol{e}\) 方向に運動し，この \(B\) に対して，観測者 \(C\) (\( \tilde{\boldsymbol{u}}\)) は速さ \(W\) で \(\bar{\boldsymbol{e}}\) 方向に運動する。
観測者 \(A\) と観測者 \(B\) に対する4元速度の合成則
$$ \bar{\boldsymbol{u}} = \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} \left( \boldsymbol{u}+ V \boldsymbol{e}\right)$$
$$ \bar{\boldsymbol{e}} = \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} \left( \boldsymbol{e} + V \boldsymbol{u} \right)$$
観測者\(B\) と観測者 \(C\) に対する4元速度の合成則
$$ \tilde{\boldsymbol{u}} = \frac{1}{\sqrt{1-W^2}} \left( \bar{\boldsymbol{u}} + W \bar{\boldsymbol{e}} \right)$$
$$ \tilde{\boldsymbol{e}} = \frac{1}{\sqrt{1-W^2}} \left( \bar{\boldsymbol{e}} + W \bar{\boldsymbol{u}} \right)$$
観測者\(A\) と観測者 \(C\) に対する4元速度の合成則
上式から \(\bar{\boldsymbol{u}}\) と \(\bar{\boldsymbol{e}}\) を消去して \(\tilde{\boldsymbol{u}} \) を直接 \(\boldsymbol{u}\) と \(\boldsymbol{e}\) を使って表すと
\begin{eqnarray} \tilde{\boldsymbol{u}} &=& \frac{1}{\sqrt{1-W^2}}
\left\{ \frac{1}{\sqrt{1-V^2}}\left(\boldsymbol{u} + V \boldsymbol{e}\right) +
W \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} \left(\boldsymbol{e} + V \boldsymbol{u} \right)
\right\}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{(1-V^2)(1-W^2)}}
\left\{(1+VW) \boldsymbol{u} + (V + W) \boldsymbol{e}
\right\}\\
&=& \frac{1+VW}{\sqrt{(1-V^2)(1-W^2)}}\left\{
\boldsymbol{u} + \frac{V + W}{1+VW} \boldsymbol{e}
\right\}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{1 – \left(\frac{V+W}{1+VW}\right)^2}} \left\{
\boldsymbol{u}+ \frac{V + W}{1+VW} \boldsymbol{e}
\right\}
\end{eqnarray}
ここで，$$ U \equiv \frac{V+W}{1+VW} $$
とすると，結局，観測者 \(C\) (\(\tilde{\boldsymbol{u}}\)) は，観測者 \(A\)（\(\boldsymbol{u}\)）に対して速度 \(U \boldsymbol{e}\) で運動すること，すなわち
$$\tilde{\boldsymbol{u}}=\frac{1}{\sqrt{1-U^2}} (\boldsymbol{u} + U \boldsymbol{e})$$ を示している。
このようにして，特殊相対論的な3次元速度の合成則$$ U \equiv \frac{V+W}{1+VW} $$が得られた。ちなみに，光速 \(c\) をあからさまに書くと
$$ U \equiv \frac{V+W}{1+\frac{VW}{c^2}} $$
となり，ガリレイ変換に基づいたニュートン力学的な速度合成則とは分母の \(\frac{VW}{c^2}\) の項のみが異なっていることがわかる。したがって，\(\frac{1}{c^2}\) に比例する項を無視するという，いわゆるニュートン近似の範囲内では特殊相対論的な3次元速度の合成則はニュートン力学的な速度合成則に一致する。
参考までに，
\begin{eqnarray} \frac{1+VW}{\sqrt{(1-V^2)(1-W^2)}} &=&
\frac{1}{\sqrt{\frac{1-V^2 -W^2 + V^2 W^2}{(1+VW)^2}}}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{\frac{(1+ 2 VW + V^2 W^2) -(V^2 + 2 VW + W^2)}{(1+VW)^2}}}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{\frac{(1+ VW)^2 – (V + W)^2}{(1+VW)^2}}} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1 – \left(\frac{V + W}{1+VW}\right)^2}}
\end{eqnarray}