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動径方向に自由落下する時計の進み方

シュバルツシルト時空において,

  • \(r = r_i\) に静止している時計の進みを \(\Delta t_i\)
  • \(r = r_i\) から初速度ゼロで動径方向に自由落下運動している時計の,動径座標 \(r (< r_i)\) における進みを \(\Delta \bar{t}\)
  • 動径座標 \(r (< r_i)\)に静止している時計の進みを \(\Delta t\)

とする。

このとき, \(r = r_i\) から自由落下していく時計の進み \(\Delta \bar{t}\) と, \(r = r_i\) に静止し続けている時計の進み \(\Delta t_i\) の比 \(\displaystyle \frac{\Delta \bar{t}}{\Delta t_i}\) はどうなるか,という話。

異なる地点に静止している時計の進みの比

まず, 異なる地点に静止している時計の進み方の比は,既に説明したように

$$\frac{\Delta t}{\Delta t_i} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}} $$

ローレンツ因子

次に,同じ動径座標 \(r\) に静止している時計の進み \(\Delta t\) と,速さ \(V\) で運動している時計の進み \(\Delta \bar{t}\) は,特殊相対論の場合と同様に一般相対論的状況下においても,ローレンツ因子の逆数である \(\sqrt{1 – V^2}\) だけ異なるはずである。(\(c = 1\))

静止観測者からみた,動径方向に自由落下する観測者に関するローレンツ因子 \(\gamma\) は

$$\gamma\equiv \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}$$

であったから,

$$ \frac{\Delta \bar{t}} {\Delta t} = \sqrt{1 – V^2} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}}$$

静止観測者からみた自由落下する時計の進み

ということで,最終的には

$$ \frac{\Delta \bar{t}}{\Delta t_i} = \frac{\Delta t}{\Delta t_i} \frac{\Delta \bar{t}} {\Delta t} = \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}} \frac{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r}}}{\sqrt{1 – \frac{r_g}{r_i}}}
= \frac{1 – \frac{r_g}{r}}{1 – \frac{r_g}{r_i}}$$

\(r = r_i \gg r_g\) に静止している観測者からみていると,自由落下する時計が \(r \rightarrow r_g\) と \(r_g\) に近づくにつれて,時計の進み \(\Delta \bar{t}\) はだんだん小さく・ゆっくりになり \(\Delta \bar{t} \rightarrow 0\) となっていく。