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重力場中の測地線方程式

重力場中であっても,光が伝播する経路はヌル測地線で与えられる。これを以下のように表現する。

光の4元ベクトル

まず,光の経路を表す世界線  \(x^{\mu}(v)\) を考える。ここで \(v\) はアフィンパラメータである。

この世界線の接ベクトルが,光の伝播を表す4元ベクトルであり,
$$ \boldsymbol{k} = k^{\mu} \boldsymbol{e}_{\mu} \equiv \frac{dx^{\mu}}{dv} \boldsymbol{e}_{\mu}$$
と書く。

ヌル測地線

測地線方程式は,
\begin{eqnarray}\frac{d\boldsymbol{k}}{dv} =
\frac{d}{dv} \left( k^{\mu} \boldsymbol{e}_{\mu}\right)
&=& \frac{dk^{\mu}}{dv} \boldsymbol{e}_{\mu} + k^{\mu} \, \boldsymbol{e}_{\mu , \nu} \, k^{\nu}\\
&=& \left(\frac{dk^{\lambda}}{dv} + \varGamma^{\lambda}_{\ \ \ \mu\nu} k^{\mu} k^{\nu} \right) \boldsymbol{e}_{\lambda} = 0
\end{eqnarray}
となる。

また,実際の計算の際には,以下のようにして,保存量がわかりやすいように変形した測地線方程式を使うことが便利な場合がある。

測地線方程式と基本ベクトル \(\boldsymbol{e}_{\nu} \) との内積をとって

\begin{eqnarray}
0 = \boldsymbol{e}_{\nu}\cdot \frac{d\boldsymbol{k}}{dv} &=&
\frac{d}{dv} \left( \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{e}_{\nu} \right) –
\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{e}_{\nu, \lambda}\frac{dx^{\lambda}}{dv} \\
&=& \frac{d}{dv} \left( k^{\mu} \boldsymbol{e}_{\mu}\cdot\boldsymbol{e}_{\nu} \right) – \boldsymbol{e}_{\mu}\cdot \boldsymbol{e}_{\lambda, \nu} k^{\mu} k^{\lambda} \\
&=& \frac{d}{dv} \left( g_{\nu\mu} k^{\mu}  \right) – \frac{1}{2} g_{\mu\lambda, \nu} k^{\mu} k^{\lambda}
\end{eqnarray}

\( k_{\nu} \equiv g_{\nu\mu} k^{\mu} \) とすると, \(k_{\nu} \) に対する測地線方程式

$$\frac{d k_{\nu}}{dv} = \frac{1}{2} g_{\lambda\mu, \nu} k^{\lambda} k^{\mu}$$ となる。

このことから,計量テンソルの成分  \(g_{\lambda\mu} \) が \(x^{\nu} \) 依存性をもたない場合は,ただちに
$$\displaystyle g_{\lambda\mu, \nu} = 0\quad\Rightarrow\quad \frac{d k_{\nu}}{dv} = 0 \quad\Rightarrow\quad k_{\nu} = \mbox{const.} $$
となり \(k_{\nu} \) 成分が保存量となることがわかる。

また,重力場中においても,光の4元ベクトルがヌルベクトルであることは変わらない。

$$ \boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{k} = g_{\mu\nu} k^{\mu} k^{\nu} = 0$$

(証明は,\( \boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{k} \) は座標系によらない不変スカラーであること,および任意の時空中の1点で局所慣性系をとることができ,そこでは特殊相対論と同じ計算ができることから明らかであろう。)